7.Уравнение Максвелла в комплексной форме записи.
Уравнение 2.1 и 6.1
записаны для мгновенных значений Н и
Е. Если Н и Е изменяются во времени
синусоидально, то можно воспользоваться
символическим методом и записать эти
уравнения в комплексной форме. Т.к.
и
,
в соответствии с формулой Эйлером :
можно записать
,
где
- мнимая часть или условно,
,
где комплексная
амплитуда
.
Аналогично
(
значок соответствия).
Т.к. напряженности
Е и Н, кроме того, что они меняются во
времени по синусоидальному закону
являются функциями векторными, т.е.
определенным образом ориентированными
в пространстве векторам, то над ними
ставят черточку и точку:
и
.
Черточка означает, что речь идет о векторе в пространстве, точка - о том, что проекция этого вектора на любую из координатных осей, во времени изменяется синусоидально.
Тогда
можно заменить на
,
где
- удельная
проводимость, характеризующая
свойство среды проводить ток,
зависит от физических свойств проводящего
материала и температуры. Измеряется в
Так
как
(
как постоянную величину можно вынести
за знак ротора). После преобразования
первое уравнение Максвелла в комплексной
форме будет иметь вид:
Соответственно
второе уравнение Максвелла в комплексной
форме будет иметь вид:
8.Построить
линии уровня плоских скалярных полей:
1)
2)
3)
,
соответствующее значениям u=1,2,3,4,5.
Скалярным полем называется плоская или пространственная область с каждой точкой М с которой связанно определенное значение некоторой скалярной физической величины U=U(М).
Задание скалярной величины и равносильно заданию скалярной (числовой) функции U(M).Функция U(M), определяющая плоское скалярное поле, как функция точки М(х,у), зависит от двух переменных U=u(х,у).
Линией уровня плоского скалярного поля называют совокупность точек плоскости, в которых функция этого поля имеет одинаковые значения.
Линия
уровня, во всех точках которых функция
поля U(х,у)
имеет одно и тоже значении С, определяется
уравнением U(х,у)=С;
различным постоянным значениям
,
,
…функции
поля соответствуют различные линии
уровня: U(х,у)
=
,
U(х,у)
=
,
U(х,у)
=
Решение:
1)Пологая U=1,2,3,4,5,получим уравнения соответствующих линий уровня: х+у=1, х+у=2,
х+у=3, х+у=4, х+у=5. Построив эти линии в прямоугольной системе координат ХОУ, получим прямые параллельные биссектрисе 2-го и 4-го координатных углов, которые и являются геометрической интерпретацией линий уровня скалярного поля.
2)Написав
уравнения линий уровня:
;
(
=1;
=2;
=3;
=4;
=5)
построив их в плоскости ХОУ получим
окружности с радиусом R
с центром в начале координат(R=1;1,4;1,7;2;2,2)
3) Линии
уровня:
,
,
,
,
представляют собой параболы симметричные
оси ОУ с общей вершиной в начале координат.
