Контрольні питання

1. Що таке асоціативна операція?

2. Що таке комутативна операція?

3. Що таке напівгрупа?

4. Що таке комутативна напівгрупа?

5. Що таке напівгрупа з одиницею?

6. Що таке моноїд?

7. Що таке напівгрупа слів у алфавіті Х?

8. Що таке одиничний елемент напівгрупи?

9. Що таке комутативна напівгрупа з одиницею?

Групи

Означення 16. Алгебра (А,) називається групою, якщо вона є напівгрупою з одиницею (е) й для кожного елемента х множини А існує такий елемент х^-1 множини А, що хх^-1=х^-1х=е. Елемент х^-1 називається оберненим до х. Група (А,*) називається комутативною, якщо операція  комутативна.

Розглянемо, наприклад, алгебру (Z,+). Вона є напівгрупою з одиницею (одиничним елементом є число 0). Перевіримо, чи існує для кожного цілого числа x обернений елемент, тобто таке ціле число х^-1, що x+x^-1=x^-1+x=0. Знаходимo розв’язок рівнянь: х^-1=-х. Оскільки хZ, -хZ. Отже, для кожного цілого числа х існує обернене до нього, а саме: число -х. Таким чином, (Z,+) є групою. Оскільки операція + комутативна, алгебра (Z,+) є комутативною групою.

Розглянемо приклад некомутативної групи. Нехай А – множина усіх взаємно однозначних відображень множини N₃ у множину N₃. Побудуємо ці відображення: f₁={<1,1>,<2,2>,<3,3>}, f₂={<1,1>,<2,3>,<3,2>}, f₃={<1,2>,<2,1>,<3,3>}, f₄={<1,2>,<2,3>,<3,1>}, f₅={<1,3>,<2,1>,<3,2>}, f₆={<1,3>,<2,2>,<3,1>}.

Множина А замкнута відносно операції композиції. Для перевірки обчислимо вирази виду f_if_j для усіх i та j (1i6, 1j6). Результати обчислень заносимо у таблицю.

	f1	f2	f3	f4	f5	f6
f1	f1	f2	f3	f4	f5	f6
f2	f2	f1	f4	f3	f6	f5
f3	f3	f5	f1	f6	f2	f4
f4	f4	f6	f2	f5	f1	f3
f5	f5	f3	f6	f1	f4	f2
f6	f6	f4	f5	f2	f3	f1

Бачимо, що f_if_jА, 1i6, 1j6, отже, множина А замкнута відносно операції . Таким чином, (А,) – алгебра. Оскільки операція композиції відображень асоціативна, алгебра (А,) є напівгрупою. Відображення f₁ є одиницею цієї напівгрупи, адже f₁ – тотожнє відображення, а тоді f₁f_i=f_if₁=f_i, 1i6. Таким чином, алгебра (А,) є напівгрупою з одиницею. За таблицею знайдемо для кожного відображення обернений елемент. Маємо: f₁^-1=f₁, f₂^-1=f₂, f₃^-1=f₃, f₄^-1=f₅, f₅^-1=f₄, f₆^-1=f₆. Отже, алгебра (А,) є групою. Ця група не комутативна, адже не для усіх відображень f_i та f_j виконується f_if_j=f_jf_i. Дійсно: f₂f₅f₅f₂, адже f₂f₅=f₆, f₅f₂=f₃, а f₆f₃.

Твердження 3. Нехай (A,) – група, хА. Тоді елемент, обернений до х, єдиний.

Доведення. Припустимо, що існує принаймні два різні елементи (y₁ та y₂), обернені до х. Оскільки y₁ обернений до х, маємо: хy₁=y₁х=е, а оскільки y₂ обернений до х, то хy₂=y₂х=е. Маємо: y₁=y₁е=y₁(хy₂)=(y₁х)y₂=еy₂=y₂. Отже, y₁=y₂, що суперечить припущенню про те, що y₁ та y₂ різні. Таким чином, для кожного елемента х з множини А елемент, обернений до х, єдиний.

Теорема 1. Алгебра G є групою тоді й тільки тоді, коли сигнатура алгебри G містить одну бінарну операцію (), одну 0-арну операцію (е), одну унарну операцію (^-1) й для будь-яких x, y, z з носія алгебри G виконуються умови:

x(yz)=(xy)z, xe=ex=x, xx^-1=x^-1x=e.

Доведення випливає з тверджень 2 та 3.