Контрольні питання

1. Які алгебри називаються алгебрами одного типу?

2. Що таке гомоморфізм алгебр?

3. Які алгебри називаються гомоморфними?

4. Що таке ізоморфізм алгебр?

5. Які алгебри називаються ізоморфними?

6. Що таке гомоморфне відображення алгебри на алгебру?

Фактор-алгебри

Означення 9. Нехай G = (А,W) – алгебра, RA², R – конгруенція. Фактор-алгеброю алгебри G за конгруенцією R (позначається G/R) називається алгебра, що визначається таким чином. Носієм цієї алгебри є фактор-множина множини А за відношенням R (А/R). За кожною операцією fⁿ з сигнатури W алгебри G побудуємо операцію (для якої залишаємо те саме ім’я fⁿ): нехай А₁,…,А_nА/R; нехай A₁=[a₁],…,A_n=[a_n], де a₁A₁, …, a_nA_n; покладемо fⁿ([a₁],…,[a_n])=[fⁿ(a₁,…,a_n)]. Позначимо множину усіх побудованих таким чином операцій через W. G/R=(А/R,W). Покажемо, що операції на множині А/R визначені коректно у тому сенсі, що результат операції (тобто fⁿ([a₁],…,[a_n])) не залежить від вибору представників класів А₁,…,А_n. Це означає, що треба довести: a₁A₁, …, a_nA_n, b₁A₁,..,b_nA_n  [fⁿ(a₁,…,a_n)]=[fⁿ(b₁,…,b_n)]. Маємо: a₁A₁, …, a_nA_n, b₁A₁,..,b_nA_n  a₁Rb₁,…, a_nRb_n  fⁿ(a₁,…,a_n)Rfⁿ(b₁,…,b_n) (використано стабільність відношення R у алгебрі G)  [fⁿ(a₁,…,a_n)]=[fⁿ(b₁,…,b_n)].

Розглянемо приклад побудови фактор-алгебри за конгруенцією. Нехай на носієві алгебри G=(N,+,) задано бінарне відношення R={<x,y>| (x-y) ділиться на 3}. Покажемо, що R – конгруенція. Відношення R рефлексивне. Дійсно: xN  (x-x)=0  0 ділиться на 3  <x,x>R. Відношення R симетричне. Дійсно: <x,y>R  (x-y) ділиться на 3  x-y=3k для деякого цілого k  y-x=3(-k), (-k) ціле  y-x ділиться на 3  <y,x>R. Відношення R транзитивне. Дійсно: <x,y>R, <y,z>R  (x-y) ділиться на 3, (y-z) ділиться на 3  x-y=3k для деякого цілого k, y-z=3m для деякого цілого m  x-z=3(k+m), (k+m) ціле  (x-z) ділиться на 3  <x,z>R. Таким чином, R – відношення еквівалентності. Покажемо стабільність R відносно операцій сигнатури алгебри G. Запишемо умову стабільності R відносно бінарної операції +:

xRy, uRv  (x+u)R(y+v).

Доведемо, що дана умова виконується. Маємо: xRy, uRv  (x-y) ділиться на 3, (u-v) ділиться на 3 Þ x-y=3k для деякого цілого k, u-v=3m для деякого цілого m Þ x=y+3k, u=v+3m Þ x+u=(y+v)+3(k+m) Þ (x+u)-(y+v)=3(k+m) для цілого (k+m) Þ (x+u)-(y+v) ділиться на 3 Þ (x+u)R(y+v). Отже, R стабільне відносно операції +. Тепер запишемо умову стабільності R відносно бінарної операції :

xRy, uRv  (xu)R(yv).

Доведемо, що ця умова виконується. Маємо: xRy, uRv  (x-y) ділиться на 3, (u-v) ділиться на 3 Þ x-y=3k для деякого цілого k, u-v=3m для деякого цілого m Þ x=y+3k, u=v+3m Þ x´u=(y+3k)(v+3m)=(y´v)+3(kv+ym+3km) Þ (x´u)-(y´v)=3(kv+ym+km) Þ (x´u)-(y´v) ділиться на 3 Þ (x´u)R(y´v). Отже, R стабільне відносно операції ´. Оскільки R стабільне відносно кожної операції сигнатури алгебри G, R стабільне у G. Оскільки R є відношенням еквівалентності й стабільне у алгебрі G, то R є конгруенцією.

Зазначимо, що фактор-множину множини N за відношенням еквівалентності R можна побудувати ще й таким чином. Знайдемо клас числа 0: К(0)={n|nN, 0Rn}={n|nN, (0-n) ділиться на 3}={n|nÎN, 0-n=3k для деякого цілого k}={n|nÎN, n=3(-k), -k ціле}={n|nÎN, n ділиться на 3}={n|nÎN, остача від ділення n на 3 дорівнює 0}. К(0)N, отже, існують числа, що належать N\K(0); зокрема, 1N\K(0). Побудуємо К(1): К(1)={n|nN, 1Rn}={n|nN, (1-n) ділиться на 3}={n|nÎN, 1-n=3k для деякого цілого k}={n|nÎN, n=3(-k)+1, -k ціле}={n|nÎN, остача від ділення n на 3 дорівнює 1}. Множина N містить числа, що не належать ні К(0), ні К(1), зокрема, 2К(0), 2К(1). Побудуємо К(2): К(2)={n|nÎN, 2Rn}={n|nÎN, (2-n) ділиться на 3}={n|nÎN, 2-n=3k для деякого цілого k}={n|nÎN, n=3(-k)+2, -k ціле}={n|nÎN, остача від ділення n на 3 дорівнює 2}. Сукупність множин K(0), К(1), К(2) утворює розбиття множини N. Таким чином, N/R={K(0),K(1),K(2)}={[0],[1],[2]}.

Визначимо на множині N/R дві бінарні операції (позначимо їх так само, як й операції алгебри G, тобто + та ´). Для визначення операцій використаємо правило: fⁿ([a₁],…,[a_n])=[fⁿ(a₁,…,a_n)]. Отже, для операції + маємо: [a₁]+[a₂]=[a₁+a₂], а для операції ´ маємо: [a₁]´[a₂]=[a₁´a₂]. Таким чином, щоб обчислити результат операції + (´) для елементів [a₁] та [a₂] множини N/R, додаємо (множимо) числа a₁ та a₂, а потім обчислюємо остачу від ділення на 3 числа a₁+a₂ (a₁´a₂); якщо остача дорівнює 0, то результат виконання оперції + (´) є [0], якщо остача 1, то результат є [1], якщо остача 2, то результат є [2]. Отже, для операції + маємо: [0]+[0]=[0+0]=[0], [0]+[1]=[0+1]=[1], [0]+[2]=[0+2]=[2], [1]+[0]=[1+0]=[1], [1]+[1]=[1+1]=[2], [1]+[2]=[1+2]=[3]=[0], [2+0]=[2+0]=[2], [2]+[1]=[2+1]=[3]=[0], [2]+[2]=[4]=[1]. Для операції  виконуємо аналогічні обчислення (за рівністю [a₁]´[a₂]=[a₁´a₂]). Подамо + та ´ у вигляді таблиць:

+ [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1]

´ [0] [1] [2] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [2] [0] [2] [1]

Алгебра G/R побудована. Кінець прикладу.

Означення 10. Нехай G=(A,W) – алгебра, G/R фактор-алгебра алгебри G за конгруенцією R. Відображення h_nat:AA/R, що визначається таким чином: h_nat(a)=[a], називається натуральним гомоморфізмом алгебри G у фактор-алгебру G/R.

Покажемо, що відображення h_nat дійсно є гомоморфним відображенням алгебри G у фактор-алгебру G/R. Нехай fⁿ – операція із сигнатури алгебри G, a₁,…,a_nA; покажемо, що h_nat(fⁿ(a₁,…,a_n))=fⁿ(h_nat(a₁),…,h_nat(a_n)). Маємо: h_nat(fⁿ(a₁,…,a_n))=[fⁿ(a₁,…,a_n)]; fⁿ(h_nat(a₁),…,h_nat(a_n))= =fⁿ([a₁],…,[a_n]); оскільки [fⁿ(a₁,…,a_n)]=fⁿ([a₁],…,[a_n]), то h_nat(fⁿ(a₁,…,a_n))=fⁿ(h_nat(a₁),…,h_nat(a_n)).

Розглянемо приклад. Побудуємо натуральний гомоморфізм алгебри G=(N,+,) у фактор-алгебру G/R=(N/R,+,) за конгруенцією R={<x,y>| (x-y) ділиться на 3}. Як було показано у попередньому прикладі, N/R={[0],[1],[2]}. З означення натурального гомоморфізму випливає, що для невід’ємного цілого числа х маємо: h_nat(х)=[0], якщо х[0] (тобто якщо х ділиться на 3), h_nat(х)=[1], якщо х[1] (тобто якщо остача від ділення х на 3 дорівнює 1), h_nat(х)=[2], якщо х[2] (тобто якщо остача від ділення х на 3 дорівнює 2).

Теорема про гомоморфізми. Нехай h – гомоморфне відображення алгебри G=(A,W) на алгебру H=(B,W). Тоді в алгебрі G існує конгруенція R, така що алгебри G/R та Н ізоморфні й, коли g – ізоморфізм G/R та Н, то h=h_natg, де h_nat – натуральний гомоморфізм алгебр G та G/R.

План доведення. Побудуємо на множині А бінарне відношення R таким чином: xRy  h(x)=h(y). Доводимо, що R конгруенція у алгебрі G. Побудуємо відображення g:A/RB таким чином: нехай [a]A/R, тоді g([a])=h(a). Доводимо, що g – ізоморфізм алгебр G/R та Н. Доводимо, що h=h_natg.