Контрольні питання

1. Що таке універсальна алгебра (алгебра)?

2. Що таке носій алгебри?

3. Що таке сигнатура алгебри?

4. Яка множина називається замкнутою відносно n-арної операції fⁿ?

5. Що таке підалгебра алгебри?

6. Що таке нетривіальна підалгебра алгебри?

Конгруенції

Означення 4. Нехай G = (А,W) – алгебра, fⁿW, RA². Відношення R називається стабільним відносно операції fⁿ, якщо a₁Rb₁,…,a_nRb_n  fⁿ(a₁,…,a_n)Rfⁿ(b₁,…,b_n). Якщо відношення R стабільне відносно кожної операції сигнатури W, то воно називається стабільним в алгебрі G.

Розглянемо, наприклад, алгебру G = (N,{+,!}) й відношення рівності (=) на множині N. Перевіримо, чи є воно стабільним відносно бінарної операції додавання (+). Для цього нам треба розглянути умову a₁=b₁, a₂=b₂  (а₁+а₂)=(b₁+b₂). Дана умова виконується, отже, відношення = стабільне відносно операції +. Перевіримо стабільність відношення = відносно унарної операції !. Для цього розглянемо умову a₁=b₁  а₁!=b₁!. Дана умова також виконується, отже, відношення = стабільне відносно операції !. Оскільки відношення + виявилося стабільним відносно кожної операції алгебри G, воно є стабільним у даній алгебрі. Розглянемо відношення  на множині N. Перевіримо стабільність даного відношення відносно бінарної операції +. Для цього розглянемо умову: a₁b₁, a₂b₂  (а₁+а₂)(b₁+b₂). Оскільки дана умова виконується, відношення  стабільне відносно операції +. Перевіримо стабільність відношення  відносно унарної операції !. Для цього розглянемо умову a₁b₁  а₁!b₁!. Для чисел 0 та 1 з множини N маємо: 01, але з цього не випливає, що 0!1! (адже 0!=1!), отже, відношення  не є стабільним відносно операції !.

Розглянемо ще один приклад. Нехай задана алгебра G=({a,b,c,d}, {f¹,f²}), де f¹(a)=b, f¹(b)=а, f¹(c)=d, f¹(d)=с, f²(a,a)=f²(b,b)=f²(b,c)=a, f²(a,b)=f²(a,c)=f²(b,a)=f²(d,a)=b, f²(a,d)= =f²(b,d)=f²(c,c)=f²(d,b)=f²(d,d)=c, f²(c,a)=f²(c,b)=f²(c,d)=f²(d,c)=d. Нехай на носієві цієї алгебри задано бінарне відношення R={<a,c>,<b,d>}. Перевіримо стабільність відношення R відносно унарної операції f¹ із сигнатури даної алгебри. Для цього нам треба перевірити таку умову: xRy  f¹(x)Rf¹(y). Можемо здійснити перевірку даної умови, перебираючи упорядковані пари виду <x,y>, що належать R, обчислюючи f¹(x) та f¹(y) та перевіряючи, чи належить упорядкована пара виду <f¹(х), f¹(y)> відношенню R. Оскільки R містить два елементи, треба виконати дві перевірки. Розглянемо упорядковану пару <a,c> з R. Маємо: f¹(а)=b, f¹(с)=d; оскільки <b,d>R, виконується умова аRс  f¹(а)Rf¹(с). Тепер розглянемо упорядковану пару <b,d> з R. Маємо: f¹(b)=a, f¹(d)=c; оскільки <a,c>R, виконується умова bRd  f¹(b)Rf¹(d). Отже, відношення R стабільне відносно операції f¹. Перевіримо стабільність відношення R відносно операції f². Для цього ми маємо перевірити умову: хRy, uRv  f²(x,u)Rf²(y,v). Зробимо це таким чином. Спочатку знайдемо усі такі комплекти упорядкованих пар виду <x,y> та <u,v>, що належать відношенню R. Маємо: 1) <a,c>, <a,c>; 2) <a,c>, <b,d>; 3) <b,d>, <a,c>; 4) <b,d>, <b,d>. Розглянемо комплект 1 (тобто <a,c>, <a,c>). Обчислимо вирази f²(a,a) та f²(c,c). Маємо: f²(а,а)=а, f²(с,с)=с. Оскільки <a,c>R, можна стверджувати, що f²(а,a)Rf²(c,c). Отже, aRc, aRc  f²(a,a)Rf²(c,c). Для комплекту 2 (тобто <a,c>, <b,d>). Маємо: f²(a,b)=b, f²(c,d)=d. Оскільки <b,d>R, то виконується f²(a,b)Rf²(c,d), а тоді aRc, bRd  f²(a,b)Rf²(c,d). Розглянемо комплект 3 (тобто <b,d>, <a,c>). Маємо: f²(b,a)=b, f²(d,c)=d; оскільки <b,d>R, то f²(b,a)Rf²(d,c), а значить, bRd, aRc Þ f²(b,a)Rf²(d,c). Розглянемо комплект 4 (тобто <b,d>, <b,d>). Маємо: f²(b,b)=a, f²(d,d)=c; оскільки <a,c>R, то f²(b,b)Rf²(d,d), а тому, bRd, bRd Þ f²(b,b)Rf²(d,d). Таким чином, відношення R стабільне відносно бінарної операції f². Ми показали, що відношення R стабільне відносно кожної операції із сигнатури заданої алгебри, отже, R стабільне у цій алгебрі.

Означення 5. Нехай G = (А,W) – алгебра, RA². Відношення R називається конгруенцією (або конгруентністю, або відношенням конгруентності), якщо R є відношенням еквівалентності на множині А та є стабільним у алгебрі G.

Наприклад, відношення рівності на носієві алгебри (N,{+,!}) є конгруенцією, адже воно стабільне у цій алгебрі, а також є відношенням еквівалентності на множині N. Конгруенцією є також кожне з бінарних відношень R_m (mN⁺, m>1), що задане на носієві алгебри (N,{+,}) таким чином: xR_my  (x-y) ділиться на m.

Твердження 1. Нехай G = (А,W) – алгебра, R₁,R₂A², R₁,R₂ – конгруенції. Тоді:

а) R₁R₂ – конгруенція;

б) R₁^-1 – конгруенція;

в) R₁R₂ є конгруенцією тоді й тільки тоді, коли R₁R₂=R₂R₁;

г) R₁ не є конгруенцією.

Доведемо перше твердження. Нам треба показати, що відношення R₁R₂ є відношенням еквівалентності на множині А, а також є стабільним у алгебрі G. Оскільки R₁,R₂ – конгруенції, то R₁, та R₂ є відношеннями еквівалентності на множині А, а тоді, як відомо, R₁R₂ теж є відношенням еквівалентності на А. Покажемо, що відношення R₁R₂ стабільне відносно кожної операції із сигнатури алгебри G. Нехай fⁿW. Доведемо, що:

x₁R₁ÇR₂y₁,…,x_nR₁ÇR₂y_n  fⁿ(x₁,…,x_n)R₁ÇR₂fⁿ(y₁,…,y_n).

Маємо: x₁R₁ÇR₂y₁,…,x_nR₁ÇR₂y_n  x₁R₁y₁, x₁R₂y₁,…,x_nR₁y_n, x_nR₂y_n (застосовано означення операції перерізу відношень)  fⁿ(x₁,…,x_n)R₁fⁿ(y₁,…,y_n), fⁿ(x₁,…,x_n)R₂fⁿ(y₁,…,y_n) (використано стабільність R₁ та R₂ у алгебрі G)  fⁿ(x₁,…,x_n)R₁ÇR₂fⁿ(y₁,…,y_n) (застосовано означення операції перерізу відношень). Отже, відношення R₁ÇR₂ стабільне відносно будь-якої операції із сигнатури алгебри G, а тому воно стабільне у алгебрі G. Таким чином, відношення R₁ÇR₂ є конгруенцією. Твердження а) доведено.