Елементи загальної алгебри Поняття алгебри, підалгебри

Означення 1. Універсальною алгеброю (алгеброю) називається упорядкована пара множин виду (А,W), де А – непорожня множина, W – множина операцій, заданих на А. (тобто W складається з відображень виду АⁿА, де nN).

Наприклад, упорядкована пара множин (N, {+,}) є алгеброю, адже N – непорожня множина, +,  – бінарні операції на множині N, тобто + та  є відображеннями виду N²N, оскільки сума й добуток будь-яких двох невід’ємних цілих чисел є невід’ємним цілим числом. Але упорядкована пара множин (N,{+,-}) не є алгеброю, оскільки результат віднімання (-) одного невід’ємного цілого числа від іншого не завжди є невід’ємним цілим числом, тобто віднімання не є відображенням виду N²N.

Якщо (А,W) – алгебра, то множина А називається носієм алгебри, а множина W – сигнатурою алгебри. Іноді сигнатура алгебри подається без фігурних дужок, наприклад, замість (N,{+,}) пишуть (N,+,).

Алгебра може мати ім’я. Ім’я зв’язується з алгеброю за допомогою знака «=». Наприклад, дамо алгебрі (N, {+,}) ім’я G₁; запишемо це таким чином: G₁ = (N, {+,}).

Означення 2. Нехай G = (А,W) – алгебра, ВА, В, fⁿW. Множина В називається замкнутою відносно n-арної операції fⁿ, якщо для будь-яких а₁, …, а_n з множини В виконується fⁿ(а₁,…,а_n)В.

Наприклад, розглянемо підмножину В={n| nN, n – парне число} носія алгебри G₁ = (N, {+,}). Множина В замкнута відносно операції +, адже сума будь-яких двох невід’ємних парних чисел завжди буде невід’ємним парним числом, тобто які б не були числа х та у з множини В число х+у також належить множині В. Добуток ху будь-яких чисел х та у з множини В також належить множині В, отже, множина В замкнута відносно операції множення (). Розглянемо тепер підмножину С={1,2,3} множини N. Числа 2 та 3 належать множині С, але їх сума, тобто число 5, як бачимо, не належить С, отже, множина С не замкнута відносно операції додавання (+). Множина С також не замкнута відносно операції множення (), адже добуток чисел 2 та 3, що належать множині С, дорівнює 6, а число 6 не належить множині С.

Означення 3. Нехай G = (А,W) – алгебра, ВА, множина В непорожня й замкнута відносно кожної операції сигнатури W. Для кожної операції fⁿ з W побудуємо її обмеження на множину В: fⁿ(ВⁿB); залишимо для цього обмеження ім’я fⁿ; множину усіх таким чином побудованих обмежень операцій назвемо W. Тоді упорядкована пара множин (В,W) є алгеброю й називається підалгеброю алгебри G. Якщо ВА, то (В,W) називається нетривіальною підалгеброю алгебри G.

Наприклад, алгебра ({n| n=2k, kN},{+,}) є підалгеброю алгебри (N, {+,}), адже множина {n| n=2k, kN} (тобто множина усіх невід’ємних парних чисел) є підмножиною множини N, вона також непорожня та замкнута відносно кожної операції сигнатури алгебри (N, {+,}), тобто відносно додавання та множення чисел (як показано раніше). Оскільки {n| n=2k, kN} є власною підмножиною множини N, алгебра ({n| n=2k, kN},{+,}) є нетривіальною підалгеброю алгебри (N, {+,}). Алгебра ({a,b,c},{f¹}), де f¹(a)=b, f¹(b)=c, f¹(c)=a, не має нетривіальних підалгебр. Для обгрунтування цього твердження достатньо розглянути усі непорожні власні підмножини носія даної алгебри (тобто множини {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}) та переконатися у тому, що жодна з них не замкнута відносно операції f¹. Множина {а} не замкнута відносно f¹, оскільки f¹(a)=b, а b не належить {a}; множина {b} не замкнута відносно f¹, оскільки f¹(b)=с, а с не належить {b}; множина {с} не замкнута відносно f¹, оскільки f¹(с)=а, але а не належить {с}; множина {а,b} не замкнута відносно f¹, оскільки b{а,b}, але f¹(b)=с, а с не належить {a,b}; множина {а,с} не замкнута відносно f¹, оскільки а{а,с}, але f¹(а)= b, а b не належить {a,с}; множина {b,с} не замкнута відносно f¹, оскільки сÎ{b,с}, але f¹(с)=а, проте а не належить {b,с}. Отже, немає жодної непорожньої замкнутої відносно операції f¹ власної підмножини носія даної алгебри ({a,b,c},{f¹}), а це й означає, що дана алгебра не має нетривіальних підалгебр.