III. Теплопроводность шара

Температурное поле при охлаждении шара с внутренними источниками теплоты изображено на рис. 3.

Рис. 3. Температурное поле в шаре при действии равномерно

распределенных внутренних источников теплоты

Для определения температурного поля и теплового потока в шаре необходимо задать геометрию расчетной области (коэффициент формы тела k = 3 и размер расчетной области R=D/2, где D – диаметр шара), коэффициент теплопроводности материала шара , мощность внутренних источников теплоты q_v , температуру теплоносителя T_f и коэффициент теплоотдачи  от поверхности шара к текучей среде. Краткая форма записи исходных и искомых величин имеет вид:

Дано:k = 2; ; ; q_v; ; T_f;

Найти: T(r); T_c; T_w; T; Q(r),

где r_ш – радиус шара; T_c и T_w – температура теплового центра и поверхности шара; T – перепад температур по сечению шара.

Математическая формулировка задачи

Дифференциальное уравнение теплопроводности:

;

или в дивергентной форме

; (III.1)

Граничные условия:

; (III.2)

. (III.3)

Метод решения

Метод решения – аналитический метод разделения переменных. Предварительно умножим на «r²» все члены дифференциального уравнения (III.1), записанного в дивергентной форме. Получим:

. (III.4)

Разделяем переменные и интегрируем первый раз:

.

Получим:

. (III.5)

Делим на «r²» все члены дифференциального уравнения (III.5):

или

(III.6)

Разделяем переменные и, интегрируя второй раз, находим общий интеграл дифференциального уравнения теплопроводности (III.1):

;

. (III.7)

Находим постоянные интегрирования С₁ и С₂. Для этого применим граничные условия (III.2) и (III.3). Из граничного условия в центре шара и выражения (III.5) следует, что С₁ = 0. Тогда общее решение (III.7) примет вид:

; (III.8)

Из последнего выражения, записанного для поверхности цилиндра ( и ) имеем:

. (III.9)

Подставляя С₂ в общий интеграл (III.8), получаем решение дифференциального уравнения теплопроводности (III.1) при граничных условиях I рода:

.(III.10)

В уравнении (III.10) температуру поверхности шара выразим через температуру флюида и коэффициент теплоотдачи. Для этого воспользуемся граничными условиями на внешней поверхности пластины (III.3). Получим:

. (III.11)

Значение производной температуры на поверхности шара ( ) найдем из выражения (III.6) с учетом С₁ = 0:

. (III.12)

Подставляя (III.12) в (III.11), находим температуру на поверхности шара:

. (III.13)

И, подставляя выражение (III.13) в формулу (III.10), окончательно получим решение дифференциального уравнения теплопроводности (III.1) при граничных условиях третьего рода:

. (III.14)

Из уравнения (III.14) видно, что температура по сечению шара изменяется по закону параболы. Температуру в центре шара рассчитывают по формуле, полученной из выражения (III.14) при r = 0:

(III.15)

Перепад температур по сечению шара равен:

(III.16)

Тепловой поток найдем, используя закон Фурье и уравнение температурного поля (III.14):

. (III.17)

Тепловой поток, уходящий с поверхности шара равен:

, (III.18)

где V – объем шара, м³.

Плотность теплового потока на поверхности шара равна:

(III.19)

Температурное поле шара при граничных условиях

I рода

Теплообмен при граничных условиях первого рода является частным случаем теплообмена при граничных условиях третьего рода. При и получаем:

(III.20)

; (III.24)

(III.25)