Лекция «Математическое моделирование стационарной теплопроводности в телах простейшей формы с равномерно распределенными внутренними источниками теплоты»

Дифференциальное уравнение теплопроводности в векторной форме:

.

При стационарном процессе теплопроводности температурное поле не изменяется во времени, следовательно, и дифференциальное уравнение Фурье принимает вид:

.

При допущении , дифференциальное уравнение теплопроводности упрощается:

.

Раскрывая значение для тел простейшей (классической) формы получаем:

;

или в дивергентной форме

.

I. Теплопроводность неограниченной однородной пластины

Температурное поле при охлаждении неограниченной пластины с внутренними источниками теплоты изображено на рис. 1.

Рис. 1. Температурное поле в неограниченной пластине при действии равномерно распределенных внутренних источников теплоты

Для определения температурного поля и теплового потока в пластине необходимо задать геометрию расчетной области (коэффициент формы тела k = 1 и размер расчетной области R=/2, где  – толщина пластины), коэффициент теплопроводности материала пластины , мощность внутренних источников теплоты q_v , температуру теплоносителя T_f и коэффициент теплоотдачи  от поверхности пластины к текучей среде. Краткая форма записи исходных и искомых величин имеет вид:

Дано: k = 1; R = /2; ; q_v; ; T_f;

Найти: T(x); T_c; T_w; T; Q(x); q(x),

где T_c и T_w – температура теплового центра и поверхности пластины; T – перепад температур по сечению пластины.

Математическая формулировка задачи

Дифференциальное уравнение теплопроводности:

; (I.1)

Граничные условия:

; (I.2)

. (I.3)

Метод решения

Метод решения – аналитический метод разделения переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

;

или

. (I.4)

Разделяем переменные и интегрируем второй раз:

; . (I.5)

Для расчета постоянных интегрирования С₁ и С₂ используем граничные условия (I.2) и (I.3). При x = 0 производная и из выражения (I.4) следует, что С₁ = 0. С учетом этого общее решение примет вид:

. (I.6)

Найдем постоянную интегрирования С₂ из выражения (I.6), записанного для внешней поверхности пластины и :

. (I.7)

Подставляя С₂ в общий интеграл (I.6), получаем решение при граничных условиях I рода:

. (I.8)

В последнем уравнении температуру поверхности пластины выразим через температуру флюида и коэффициент теплоотдачи. Для этого воспользуемся граничными условиями на внешней поверхности пластины (I.3). Получим:

. (I.9)

Значение производной температуры на поверхности пластины ( ) найдем из выражения (I.4) с учетом С₁=0:

. (I.10)

Подставляя (I.10) в (I.9), находим температуру на поверхности пластины:

. (I.11)

И, подставляя последнее выражение в формулу (1.8), окончательно получим решение дифференциального уравнения теплопроводности (I.1) при граничных условиях третьего рода:

. (I.12)

Из уравнения (I.12) видно, что температура по сечению пластины изменяется по закону параболы. Температуру в тепловом центре пластины рассчитывают по формуле, полученной из выражения (I.12) при х = 0:

. (I.13)

Перепад температур по сечению пластины равен:

. (I.14)

Рассчитаем плотность теплового потока, действующего в пластине q(x). Для этого воспользуемся законом Фурье и уравнением температурного поля (I.12):

. (I.15)

Плотности теплового потока в тепловом центре и на поверхности пластины соответственно равны:

, . (I.16)

Тепловой поток, уходящий с поверхности пластины равен:

, (I.17)

где , – объем пластины, м³; F – площадь поверхности пластины, м².

Температурное поле пластины при граничных условиях

I рода

Теплообмен при граничных условиях первого рода является частным случаем теплообмена при граничных условиях третьего рода. При и получаем:

(I.18)

(I.19)

(I.20)