Логические функции двух переменных

Таблица истинности функции двух переменных Y = f(X1, Х2) содержит 4 (2²=4) строки, а число функций двух переменных равно 16 (2²ⁿ = 16).

Рассмотрим основные функции двух переменных.

1. Логическое ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция):

Y= X1 + X2 = X1 v X2

Техническая реализация этой функции два параллельно соединенных ключа:

Таблица истинности логического ИЛИ имеет вид:

X1	X2	Y= X1 + X2
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Логический элемент ИЛИ обозначается на схемах следующим образом:

Х1	1 (ИЛИ)
		Y
Х2

и ли так: Х1

Х2

2. Логическое и (логическое умножение, конъюнкция, схема совпадений):

Y = X1*X2 = X1&X2 = X1 Λ X2

Техническая реализация этой функции два последовательно соединенных ключа:

Таблица истинности логического И имеет вид:

X1	X2	Y= X1 * X2
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Логический элемент И обозначается на схемах следующим образом:

Х1	И (&)
		Y
Х2

или так:

3. Функция стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ): Y = NOT(X1+X2)

Таблица истинности функции ИЛИ-НЕ имеет вид:

X1	X2	Y= X1 + X2
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Логический элемент ИЛИ-НЕ обозначается на схемах следующим образом:

4 . Функция штрих Шеффера (И-НЕ): Y = X1 X2 = NOT(X1 X2)

Таблица истинности функции И-НЕ имеет вид:

X1	X2	Y= X1 X2
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Логический элемент И-НЕ обозначается на схемах следующим образом:

5. Исключающее ИЛИ (сложение по модулю два):

Y = X1*Х2 +Х1*X2 = NOT X1* X2 v X1 * NOT X2 = X1 xor X2

Таблица истинности исключающего ИЛИ имеет вид:

X1	X2	Y= X1 xor X2
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Логический исключающее ИЛИ обозначается на схемах следующим образом:

Х1	=1
		Y
Х2

6. Импликация – бинарная логическая операция (в русском языке этой логической операции соответствуют союзы: если …, то; когда …, тогда; коль скоро …, то). В логических формулах операция импликации записывается следующим образом: Х1 Х2.

Таблица истинности импликации () имеет вид:

X1	X2	Y= X1  X2
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

7. Эквивалентность – бинарная логическая операция (в русском языке этой логической операции соответствуют союзы: если и только если …, тогда и только тогда …). В логических формулах операция импликации записывается следующим образом: Х1↔ Х2 или Х1≡Х2.

Таблица истинности эквивалентности (↔) имеет вид:

X1	X2	Y= X1 ↔ X2
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Приоритет выполнения логических операций: отрицание (NOT), конъюнкция, дизъюнкция, исключающее ИЛИ, импликация, эквивалентность.

Упрощение формул в булевой алгебре производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на следующие основные законы (эквивалентные соотношения):

1. Ассоциативность дизъюнкции и конъюнкции:

Х1*(Х2*Х3) = (Х1*Х2)*Х3 = Х1*Х2*Х3;

X1 v (X2 v X3) = (Х1 v Х2) v Х3 = Х1 v Х2 v Х3

2. Коммутативность дизъюнкции и конъюнкции:

   Х1*Х2 = Х2*Х1;

   X1 v X2 = Х2 v Х1

3. Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции:

Х1*(Х2 v Х3) = Х1*Х2 v X1*Х3

4. Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции:

X1 v (X2 * X3) = (Х1 v Х2)*(X1 v Х3)

5. Идемпотентность (отсутствие степеней коэффициентов)

   Х*Х = Х

   X v X = Х

6. З акон двойного отрицания (инволюционный закон):

Х = Х

7. Свойства констант 0 и 1:

X * 1 = X;	X v 1 = 1;
X * 0 = 0;	X v 0 = X;
0 = 1;	1 = 0;

8. Закон де Моргана:

Х 1*Х2 = Х1 v Х2;

Х1 v Х2 = Х1 * Х2;

9. З акон противоречия:

Х*Х = 0

10. З акон исключения третьего:

Х v Х = 1

11. Поглощение:

Х v X*Y = X

12. Склеивание:

X *Y v X*Y = X;

Х v X*Y = X v Y

13. Импликация

А В = А v B