Матрица, верхняя и нижняя цена потерь

Рассмотрим следующую модель. Игрок А желает принять решение, на результат которого влияет другой игрок В, цели которого противоположны А. Игрок В анализирует все возможные варианты А и принимает такое решение, которое приводит к наименьшему выигрышу А(соответственно максимальному своему выигрышу).       Пусть игрок А может выбрать в качестве действий одну из п альтернатив (вариантов) своих возможных действий: А₁, А₂,…, А_n. Эти альтернативы в теории игр принято называть стратегиями. Аналогично, игрок В может принять одну из m своих стратегий В₁, В₂,…, В_m. Предположим, что известны выигрыши (проигрыши) игрока А при любой выбранной им стратегии А_i и любом ответе ему игроком В – стратегии В_j. Пусть этот результат выражен числом а_ij (которое может быть и отрицательным в случае проигрыша А). Величины а_ij образуют матрицу:     

	В1	В2	…	Вm
А1	a11	a12	…	a1m
А2	a21	a21	…	a2m
…			…
Аn	an1	an2	…	anm

     Эта матрица называется платежной или матрицей игры.       Рассмотрим игру со стороны А. Он, выбирая свою стратегию А_i, понимает, что В ответит ему такой стратегией В_j, чтобы выигрыш А был минимальным. Поэтому, из всех наихудших вариантов (минимальных элементов каждой строки платежной матрицы)  , игроку А выгодно выбрать стратегию, соответствующую максимальному из этих элементов:      .      Величина a называется нижнейценой игры или максимином. Это гарантированный выигрыш игрока А. С другой стороны, игрок В выбирая свою стратегию В_j понимает, что игрок А ответит такой стратегией А_i, чтобы его выигрыш был максимален. Поэтому из наилучших вариантов дляА (максимальных элементов каждого столбца)   игроку В рационально выбрать свою стратегию, соответствующую минимальному из этих чисел:      .      Величина β называется верхней ценой игры или минимаксом. Это максимальный проигрыш игрока В. Реальный результат решения конфликтной ситуации, называемый ценой игры n, заключен между верхней и нижней ценой:  . В случае, если верхняя и нижняя цены совпадают  , то игра имеет решение в чистых стратегиях, то есть можно точно определить стратегии  , которые выгодны для обоих сторон. Если одна сторона отойдет от своей оптимальной стратегии, то ее выигрыш от этого только уменьшится. 

Чистые и смешанные стратегии

Выбор игроком того или иного действия называется ходом. Ходы бывают личные (игрок сознательно принимает то или иное решение) и случайные (исход игры не зависит от воли игрока). Набор правил, которые определяют, какой ход игроку необходимо сделать, называется стратегией. Стратегии бывают чистыми (неслучайные решения игроков) и смешанными (стратегию можно рассматривать как случайную величину).

Седловая точка

В теории игр С. т. (седловой элемент) — это наибольший элемент столбца матрицы игры, который одновременно является наименьшим элементом соответствующей строки (в игре двух лиц с нулевой суммой). В этой точке, следовательно, максимин одного игрока равен минимаксу другого; С. т. есть точка равновесия.

Теорема о минимаксе

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией.

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" максиминной и минимаксной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.

Игрок выбирает свои действия, предполагая, что противник будет действовать неблагоприятным образом, т.е. будет стараться "навредить".

Функция потерь

Функция потерь – функция, которая в теории статистических решений характеризует потери при неправильном принятии решений на основе наблюдаемых данных. Если решается задача оценки параметра сигнала на фоне помех, то функция потерь является мерой расхождения между истинным значением оцениваемого параметра и оценкой параметра

Оптимальная Смешанная стратегия игрока - это полный набор примене­ния его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями. 

Смешанная стратегия игрока - это полный набор примене­ния его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями. 

1. Если все элементы строки не больше соответствующих элементов другой строки, то исходная строка может быть вычеркнута из платежной матрицы. Аналогично для столбцов.

2. Цена игры единственна.

Док-во: допустим, что есть 2 цены игры v и  , которые достигаются на паре   и   соответственно, тогда

       

3. Если ко всем элементам платежной матрицы прибавить одно и то же число, то оптимальные смешанные стратегии не изменятся, а цена игры увеличится на это число.

Док-во:  , где 

4. Если все элементы платежной матрицы умножить на одно и то же число не равное нулю, цена игры умножится на это число, а оптимальные стратегии не изменятся.

Док-во: 

Теорема об активных стратегиях. Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры v, если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий..

Эта теорема имеет большое практическое значение - она дает конкретные модели для нахождения оптимальных стратегий при отсутствии седловой точки.