50.2 Матрицы перехода к другому базису

Определение: C- матрица перехода от базиса к базису . Пусть и - … базисы e … x. Разложим f_k по базису а g_j - … 1,2,…,n – по базису

(50.4)

(50.5)

Определение: Матрица её k-ый столбец есть координаты f_k по базису называется матрицей перехода от базиса к базису (соответственно, матрицей перехода от базиса к базису является матрица , определённая равенством (50.6)

Имеем схему переходов:

Тогда чему будет равна матрица перехода от базиса к ?

Найдем эту матрицу:

; , т.е. B=CD, где - матрица перехода от базиса к базису . При этом матрица перехода от первого базиса к второму невырождена, т. к. имеет обратную, являющиеся матрицей перехода от 2-го базиса к первому. (ибо очевидно, что матрица перехода от базиса к … есть единичная матрица)

50.3 Матрица перехода для ортонормированного базиса

Пусть в рассмотренных выше случаях базисы ортонормированны а ЕП - вещественно. Заметим, что ЛО вещественный, если его матрица действительна. В ОНБ элемент линейного пространства (ЛП) равен . Элемент базиса имеет вид (50.7),

где - элемент базиса . При этом матрица перехода C должна обладать свойством:

(50.8)

В самом деле, т.к. - ОНБ, то

(50.9)

Подставляя вместо f_i и f_j в (50.9) их выражения из (50.7), получим:

(ибо - ОНБ, и поэтому ), т.е. , и равенство (50.6) доказано.

50.4 Инвариантные подпространства

Пусть имеется ЛО перехода из пространства X в Y.

Определение: линейное подпространство (ЛПП) Y инвариантно, (ИПП) если для всех элементов ЛП Y образ ЛПП принадлежит ЛП Y и его ЛО не входит из ЛП Y.

Частным случаем является ЛПП, ЛО которого есть оператор поворота оси на угол .

Теорема: Если х – ИПП в ЛП L имеет размерность k, а ЛП L имеет размерность n, то ИПП имеет размерность n-k.

Доказательство:

Пусть - ОНБ в ЛПП х. Дополним его до базиса во всём ЛП. (см. §18, следствие 18.1). Можно считать, что - ОНБ (в противном случае проведем ортогонализацию Шмидта (см. §49, и 49.4) и каждый элемент полученного базиса поделим на его длину), т.е. имеет место равенство:

(50.10)

Берём любой элемент и разложим его по базису :

(50.11)

Так как , а < х, то (50.12), если

Тогда, умножая скалярно обе части равенства (50.11)

50.5 Характеристический многочлен линейного оператора

И его инвариантность относительно выбора базиса

Пусть имеется ЛО , переводящий ЛП A из самого себя и имеется базис . Тогда рассмотрим уравнение:

Справа от знака равенства есть характеристический многочлен ЛО . Этот многочлен не изменится, если изменить базис элементов (он инвариантен относительно выбора базиса):

§51 Собственные вектора и собственные значения линейного оператора

51.1 Определение собственных значений и собственных векторов

51.2 Связь собственных значений с корнями характеристического многочлена

51.3 Существование одномерных и двумерных инвариантных подпространств

51.4 Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям

51.1 Определение собственных значений и собственных векторов

Определение: Число λ называется собственным значением линейного оператора , если найдется такой элемент из линейного пространства, что

Определение: Элемент линейного пространства , определённый равенством (51.1), называется собственным вектором линейного оператора , соответствующим собственному значению λ .

51.2 Связь собственных значений с корнями характеристического многочлена

Пусть линейный оператор в некотором базисе имеет матрицу A . Определим, какими должны быть его собственные значения. Для этого уравнение (51.1) перепишем в матричной форме (см. равенство (50.2)), причем за обозначим столбец координат элемента в базисе (то есть ):

или (51.2)

Это означает, что система линейных уравнений (51.2) имеет ненулевое решение. А так как также является решением системы (51.2), то отсюда следует, что система (51.2) не определена, и поэтому (см. §7, теорема 7.1)

(51.3)

А уравнение (51.3) означает, что λ является корнем характеристического многочлена линейного оператора .

Обратное следует из того, что если , то множество решений системы (51.2) является линейным пространством ненулевой размерности (см. §19, теорема 19.2), и, стало быть, имеет ненулевое решение. Мы показали, что справедливы следующие две теоремы:

Теорема 1: Число λ является собственным значением линейного оператора тогда и только тогда, когда оно является корнем его характеристического многочлена.

Теорема 2: Все собственные вектора, соответствующие заданному собственному значению λ, образуют линейное подпространство.