49.4 Ортогонализация Шмидта
Теорема: пусть задан базис . Тогда существует ортонормированный базис (ОНБ) такой, что ЛО его и заданного базиса равны, т.е.
при k
n
Доказательство:
Пусть
,
положим
Тогда:
и
,т.е.
ортогонален как и
,
так и
.
По аналогии методом математической
индукции читателю предлагается
самостоятельно установить, что всякий
элемент
в базисе Шмидта ортогонален всем
предыдущим
,
и поэтому базис
-
ортогональный.
49.5 Конечномерные и бесконечномерные Евклидовы пространства
Пусть задан базис
и
(49.9)
При
этом
задано скалярным произведением (, что
все 4-ое свойство ЕП). Полученное
произведение есть конечномерное
Евклидово пространство. Мы показали,
что всякое конечное линейное пространство
может быть сделано Евклидовым.
Бесконечномерное
Евклидово пространство является,
например, множество функций, непрерывных
на отрезке
со скалярным произведением
,
ибо следующая бесконечная последовательность
является ортонормированным и,
следовательно, линейно независимой.
Читателю предлагается самостоятельно
устанавливать предыдущее утверждение
относительно примера бесконечномерного
евклидова пространства, (проверить
выполнение всех свойств скалярного
произведения) а также показать, почему
множества всех интегрируемых (по Риману)
значений на отрезке
не является евклидовым пространством
(не выполняется свойство
;
при этом считается, что
)
49.6 Комплексные евклидовы пространства
Если два элемента (вектора) некоторого
ЕП заданы комплексными координатами
(например:
),
то они находятся в комплексном
ЕП.
При этом в комплексном ЕП свойство 1) заменяется на:
(
-
число, комплексно ),
а свойства 2), 3) и 4) скалярного произведения остаются без изменения.
При этом: 
(49.6)
В самом деле
,
и
(49.6)??????
Надо иметь в виду, что:
Замечание 1: 4 свойства действительного
ЕП в комплексном ЕП не могут иметь места,
ибо они противоречат друг другу, так
как
,
что не соответствует свойству .
Поэтому свойство 1) для комплексных ЕП слегка изменится, а остальные останутся в силе
Замечание 2: Невозможно также
определить угол между элементами
комплексного ЕП, ибо величина
,
вообще говоря, будет комплексным и может
не быть косинусом некоторого вещественного
угла.
В качестве примера советуем показать
читателю, что если
и
-
координаты соответственно векторов a
и b по базису
,
то тогда
-
является скалярным произведением (и,
следовательно, конечномерное линейное
комплексное пространство становится
евклидовым), а
будет ортонормированным базисом
относительно заданного скалярного
произведения.
§50 Линейный оператор. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (ло). Инвариантные подпространства
50.1 Линейный оператор и его матрица в заданном базисе. Матрица суперпозиций линейного оператора
50.2 Матрицы перехода к другому базису
50.3 Матрица перехода для ортонормированного базиса
50.4 Инвариантные подпространства
50.5 Характеристический многочлен линейного оператора и его инвариантность относительно выбора базиса
50.1 Линейный оператор и его матрица в заданном базисе. Матрица суперпозиций линейного оператора
Определение: Оператор A1 (некая функция) перехода из одного линейного пространства в другое называется линейным, если выполняются два требования:
1.
2.
Пусть в пространстве
есть базис
,
в пространстве
базис
и в пространстве
-
.
И пусть имеется схема переходов между
пространствами с помощью ЛО:
Разложим образы
по
базису
:
Определение: Матрица вида
(i-ый столбец которой есть
координаты A1(li))
по базису
) называется матрицей ЛО А1 по
базису
.
Найдем преобразование координат:
Т.е.
Можно записать иначе:
Теперь пусть A3=A2A1,
т.е. (по определению) A3(x)=A2(A1(x)).
Пусть ЛО А2 имеет матрицу
,
т.е.
(50.3)
Докажем, что преобразование
имеет матрицу C=BA,
т.е. найдем матрицу суперпозиции.
,
где
,
т.е. BA=C (
-
матрица ЛО А3 в …?
).