Глава 5. Евклидовы пространства. Линейные операторы

§48 Преобразование координат при повороте оси и квадратичные формы для функций двух переменных

48.1 Преобразование координат при повороте оси на угол α

48.2 Квадратичные формы для функции вторых переменных

48.1 Преобразование координат при повороте оси на угол α

Для вектора преобразование координат будет следующим (см.§35):

Где - «старые» координаты.

48.2 Квадратичные формы для функции вторых переменных

Определение 48.1: квадратичной формой (КФ) для функции двух переменных называется следующее выражение:

Q(x,y) = Ax² + 2Bxy + Cy² (48.1)

Теорема: существует такой поворот осей, при котором в выражении для КФ не будет произведения переменных.

Из §35 имеем:

В этом случае 2Bxy = 0.

§49 Евклидовы пространства

49.1 Определение Евклидова пространства (еп)

49.2 Неравенство Коши-Буняковского или неравенство Шварца. Неравенство

49.3 Линейная независимость системы попарно ортогональных векторов

49.4 Ортогонализация Шмидта

49.5 Конечномерные и бесконечномерные Евклидовы пространства

49.6 Комплексные евклидовы пространства

49.1 Определение Евклидова пространства (еп)

Определение: Пространство является Евклидовым, если в нем задано скалярное произведение величин a и b, обладающее свойствами:

Из свойства 3, (положив λ=0), легко следует, что 0•b=0 )

Нормой называется выражение:

(49.1)

49.2 Неравенство Коши-Буняковского или неравенство Шварца. Неравенство

Неравенство Коши-Буняковского (или неравенство ) имеет вид:

Доказательство:

при . И поэтому дискриминант квадратичной формы должен быть 0. Поэтому

, и

, т.е.

Неравенство Коши-Буняковского (иногда его называют неравенством Шварца) позволяет определить угол между любыми двумя элементами евклидова пространства по формуле:

Неравенство треугольника известно всем со школы, и имеет вид:

(49.3)

Доказательство:

Извлекая корень из первой и последней части неравенства, получим требуемое неравенство.

Следствие:

Доказательство:

, тогда

49.3 Линейная независимость системы попарно ортогональных векторов

Определение: Элементы a и b ортогональны, если

Теорема: имеется система элементов . Если при и , то линейно независима.

Доказательство:

Пусть для некоторых действительных (49.4).

Помножим скалярно обе части равенства (49.4) на . Так как ( ортогональна всем остальным ), то все слагаемые у левой части (49.4) суммы, кроме k-ого, обращены в ноль, т.е. это равенство станет иметь вид:

откуда (49.5)

Из равенства (49.5) следует, что система -линейно независима.

Определение: система является ортогональным базисом, в примерах ЕП если все её элементы попарно ортогональны, а если его элементы имеют единичную длину (ортонормированны), то базис называется ортонормированным (в дальнейшем - ОНБ).

Определение: пусть в линейном пространстве задано некоторое количество элементов . Линейной оболочкой (ЛО) этого множества называется множество всех элементов b, которые можно линейно выразить через заданные элементы .