Аналитическая геометрия в пространстве

Поверхность и ее уравнение

Поверхность в пространстве, как правило, можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке О₁ есть геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точки О₁ на расстоянии R.

Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками чисел х, у и z — их координатами. Свойство, общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности.

Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе координат Oxyz называется такое уравнение F(x, у, z) = 0 с тремя переменными х, у и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. Переменные х, у и z в уравнении поверхности называ­ются текущими координатами точек поверхности.

Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для того, чтобы узнать, лежит ли точка M₁(x₁;y₁;z₁) на данной поверхности, достаточно подставить координаты точки М₁ в уравнение поверхности вместо пере­менных: если эти координаты удовлетворяют уравнению, то точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют — не лежит.

Уравнения линии в пространстве

Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей (см. рис. 66) или как геометрическое место точек, об­щих двум поверхностям.

Если F₁(x;y.z) = 0 и F₂(x;y;z) = 0 — уравнения двух поверхностей, определяющих линию L, то координаты точек этой линии удовлетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:

Уравнения системы (12.1) называются уравнениями линии в пространстве. Например, есть уравнения оси Ох.

Рис. 66. Рис. 67.

Линию в пространстве можно рассматривать как траекторию движе­ния точки (см. рис. 67). В этом случае ее задают векторным уравнением

(12.2)

или параметрическими уравнениями ,

проекций вектора (12.2) на оси коорди­нат.

Например, параметрические уравне­ния винтовой линии имеют вид

Если точка М равномерно движет­ся по образующей кругового цилиндра, а сам цилиндр равномерно вращается во­круг оси, то точка М описывает винто­вую линию (см. рис. 68).

Рис. 68.

Уравнения плоскости в пространстве

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в простран­стве Oxyz можно задать разными способами. Каждому из них соответству­ет определенный вид ее уравнения.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой M₀(x₀; у₀; z₀) и вектором = (А; В; С), перпендикулярным этой плоскости (см. рис. 69). Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем на ней произвольную точку M(x;y;z) и составим вектор = (х – х₀;у—y₀;z- z₀). При любом расположении точки М на плоскости Q векторы и взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: · = 0, т. е.

А(х - х₀) + В(у - у₀) + C(z - z₀) = 0. (12.3)

Координаты любой точки плоскости Q удовлетворя­ют уравнению (12.3), координаты точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравнению не удовлетворяют (для них · ≠ 0).

Уравнение (12.3) называется уравнением плоскости, проходя­щей через данную точку M₀(x₀; у₀; z₀) перпендикулярно вектору = (А; В; С). Оно первой степени относительно текущих координат х, у и z. Вектор = (А; В; С) называется нормальным вектором плоско­сти.

Рис. 69.

Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (12.3) различные зна­чения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку M₀. Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, на­зывается связкой плоскостей, а уравнение (12.3) — уравнением связки плоскостей.