Линии на плоскости

1. Основные понятия

Линия на плоскости часто задается как множество точек, обладаю­щих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Напри­мер, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, уда­ленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).

Введение на плоскости системы координат позволяет определять по­ложение точки плоскости заданием двух чисел — ее координат, а положе­ние линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(x; у) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные х и у в уравнении линии называются текущими коорди­натами точек линии.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.

Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(х₀; у₀) на данной ли­нии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбран­ной системе координат.

Пример 10.1. Лежат ли точки К(—2; 1) и L(1; 1) на линии 2х+у+3=0?

Решение: Подставив в уравнение вместо х и у координаты точки К, получим 2 · (—2) + 1+3 = 0. Следовательно, точка К лежит на данной линии. Точка L не лежит на данной линии, т. к. 2·1 + 1 + 3≠0.

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных урав­нениями F₁(x;y) = 0 и F₂(x;y) = 0, сводится к отысканию точек, коор­динаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересе­каются.

Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.

Уравнение F(r; φ) = 0 называется уравнением данной линии в поляр­ной системе координат, если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:

(10.1)

где х и у — координаты произвольной точки М(х;у), лежащей на данной линии, a t — переменная, называемая параметром; параметр t определяет положение точки (х; у) на плоскости.

Например, если х = t + 1, у = t², то значению параметра t = 2 соот­ветствует на плоскости точка (3;4), т. к. х = 2 + 1 = 3, у = 2² = 4.

Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется пара­метрическим, а уравнения (10.1) — параметрическими уравнениями ли­нии.

Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению ви­да F(x;y) = 0, надо каким-либо способом из двух уравнений исключить параметр t. Например, от уравнений путем подстановки t = х во второе уравнение, легко получить уравнение у = х²; или у — х² = 0, т. е. вида F(x; у) = 0. Однако, заметим, такой переход не всегда целесообразен и не всегда возможен.

Линию на плоскости можно задать векторным уравне­нием = (t), где t — скалярный переменный параметр. Каждому значению t₀ соответствует определенный вектор ₀ = (t₀) плоскости. При изменении параметра t конец вектора = (t) опишет некоторую линию (см. рис. 31).

Рис. 31

Векторному уравнению линии = (t) в системе коор­динат Оху соответствуют два скалярных уравнения (10.1), т. е. уравнения проекций на оси координат вектор­ного уравнения линии есть ее параметрические уравнения.

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемеща­ется на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями дви­жения, а линия — траекторией точки, параметр t при этом есть время.

Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение вида F(x;y) = 0.

Всякому уравнению вида F(x;y) = 0 соответствует, вообще говоря, не­которая линия, свойства которой определяются данным уравнением (вы­ражение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исключения. Так, уравнению (х - 2)² + (у - 3)² =0 соответствует не линия, а точка (2;3); уравнению х² + у² + 5 = 0 на плоскости не соответствует никакой геометрический образ).

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные за­дачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение; вторая: зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.

На рисунках 32-40 приведены примеры некоторых кривых и указаны их уравнения.

Рис. 32. Окружность радиуса R

Рис. 33. Лемниската Бернулли

Уравнение в прямоугольных координатах: (х² + у²)² — а²(х² — у²) = 0, а > 0; в полярных координатах:

Рис. 34. Трехлепестковая роза

В полярных координатах ее уравнение имеет вид = а · cos 3φ, где а > 0.

Рис. 35. Улитка Паскаля

Уравнение в полярных координатах имеет вид = b + а cos φ.

Рис. 37. Астроида

Уравнение в прямоугольных координатах: ; параметрические уравнения:

Рис. 36. Полукубическая парабола

Уравнение кривой у² = х³ или

Рис. 38. Кардиоида

Уравнение в полярных координатах имеет вид = а(1 + cos φ), где а > 0. Кардиоида — част­ный случай улитки Паскаля (а = b).

Рис. 39. Спираль Архимеда

Уравнение кривой в полярных координатах = aφ, где а > 0 — постоянное.

Рис. 40. Циклоида

Параметрические уравнения циклоиды имеют вид где а > 0. Циклоида — это кривая, которую описывает фиксированная точка окружности, катящаяся без скольжения по непо­движной прямой.

11