5.3.1. Масштаби

Ступень зменшення ліній на карті або плані відносно горизонтальних прокладень відповідних ліній на місцевості називається масштабом карти (плану).

У більшості випадків горизонтальні прокладення мало відрізняються від довжини самої лінії, тому масштабом спрощено називають відношення довжини лінії на карті до довжини відповідної лінії на місцевості. Це відношення можна записати у вигляді дробу, чисельник якої дорівнює одиниці, а знаменник – числу, що показує, в скільки разів зменшені зображення ліній на карти. Так, якщо масштаб карти дорівнює 1:25 000, то це означає, що всі лінійні розміри на карті зменшені в 25 000 разів у порівнянні з довжинами відповідних ліній на місцевості.

Масштаб, виражений відношенням чисел, називається числовим масштабом.

Числовий масштаб – відвернута величина, яка не залежить від системи лінійних мір, тому якщо відомий числовий масштаб карти, на ній можна здійснювати вимірювання в будь-яких лінійних мірах (сантиметрах, дюймах і т. ін.).

Іменований масштаб указує довжину лінії на місцевості, яка відповідає одиниці довжини на карті (наприклад, 10 км в 1 см, або в 1см 10 км).

Рис. 20. Побудова лінійного масштабу

Рис. 21. Лінійні масштаби різних топографічних карт

Рис. 22. Вимірювання відстаней на карті

При вимірюванні відстаней по карті можна користуватися так званим лінійним масштабом.

Для побудови лінійного масштабу проводять пряму лінію (рис. 20) і відкладають на ній однакові відрізки. Довжина відрізка повинна бути такою, щоби відповідна за числовим масштабом відстань на місцевості дорівнювалась якому-небудь цілому числу, наприклад 1 км, 2 км і т. д. Лінійна міра кожного такого відрізка називається основою масштабу. Перший ліворуч відрізок розмічують на десять або п’ять однакових частин, щоби можна було виміряти по карті і відкладати на ній десяті або п’яті частки основи масштабу. Поділки підписують цифрами, які означають відстань на місцевості.

За початок відліку відстаней приймають штрих між першим і другим великими відрізками лінійного масштабу, позначений цифрою нуль. Праворуч від нуля підписують числа, які відповідають цілій основі масштабу, а ліворуч від нуля – його часткам.

На рис. 21 зображені лінійні масштаби різних топографічних карт.

Нехай необхідно виміряти по карті відстань між точками А і В (рис. 22). Для цього, встановивши розхил ніжок циркуля по точках А і В карти, прикладають його потім до лінійного масштабу так, щоби ліва ніжка знаходилась ліворуч від нуля, а права знаходилась точно на одній із поділок праворуч від нуля. Відстань між точками А і В дорівнюватиме сумі відліку по обох ніжках циркуля. Частки малих поділок при цьому визначають на око.

Щоби підвищити точність вимірювання відстаней по карті й уникнути визначень на око дрібних часток ліній, застосовують так званий поперечний масштаб.

Рис. 23. Побудова поперечного масштабу

Поперечний масштаб будують так. На прямій КL (рис. 23) декілька разів відкладають основу масштабу, яка звичайно дорівнює 2 см. З усіх отриманих у такий спосіб точок проводять перпендикуляри; два крайніх перпендикуляри розмічують на десять однакових часток. Через ці точки проводять прямі паралельні лінії КL.

Перший ліворуч відрізок СК по верхній і нижній лініях також розмічують на десять однакових часток і точки поділу з’єднують між собою похилими лініями в такому порядку: початок верхньої лінії – з кінцем першої малої поділки нижньої лінії, кінець першої поділки верхньої лінії – з кінцем другої поділки нижньої лінії і т. д., як показано на рис. 23.

Розглянемо трикутник АСВ (рис. 23), який у збільшеному вигляді зображений на рис. 24. Із подібності трикутників АСВ і а₁сb₁ маємо

,

звідсіля

.

За побудовою АВ= 0,1 основи масштабу, а Сb₁= 0,1 відрізка СВ, отже,

основи масштабу.

Так само знаходимо, що а₂b₂= 0,02; а₃b₃= 0,03 … а₉b₉= 0,09 основи масштабу, тобто кожний відрізок відрізняється від сусіднього на 0,01 основи масштабу або на 0,2 мм.

За допомогою поперечного масштабу можна без оцінки на око виміряти відстань по карті з точністю 0,1 мм.

Поперечний масштаб з основою 2 см, на якому підписані цифри означають цілі, десяті і соті частки основи масштабу (а не довжину на місцевості), називається нормальним поперечним масштабом, яким можна користуватися для вимірювання і відкладання відстаней при будь-якому числовому масштабі.

Поперечний масштаб звичайно гравірується на спеціальних металевих лінійках, які називаються масштабними, а також на лінійках деяких топографічних приладів.

Розрізняють також граничну графічну точність масштабу. Гранична точність масштабу дорівнює 0,1 мм. Чому встановили саме таку величину? Якщо взяти дві паралельні лінії і поступово наближати їх, то нормальне людське око може розрізнити відстань між цими лініями величиною 0,1 мм. При меншій відстані ці лінії зіллються в одну.

Зрозуміло, що гранична точність масштабу для топографічних карт і планів того чи іншого масштабу буде різною, наприклад для масштабу 1: 5 000 – 0,5 м, 1: 10 000 – 1,0 м, 1: 25 000 – 2,5 м і т. д.

Практична точність вимірювань по карті дещо менша від граничної теоретичної точності внаслідок деформації паперу, точності нанесення контурів місцевості тощо.