1.2. Пределы, пределы слева, пределы справа
Пределом функции f(х) в точке х0 называется число L такое, что для любого числа 0 существует число, δ0 (зависщее от ), что для всех х, принадлежащих Е, удовлетворяющих неравенству 0< │х-х0│< δ, справедливо равенство │f(x)-L│<.
Предел L обозначается по-разному:
или
или
Пределом слева (или справа) функции f(х)
в точке х0 называется
число L такое, что для
любого числа 0
существуе такое число
>0
(зависящее от ), что
для всех х, принадлежащих Е, удовлетворяющих
неравенству
(или
),
справедливо неравенство
Предел слева обозначается
,
а предел справа
Геометрический смысл предела
функции в точке х0 таков:
если значения аргумента х будут
взяты в
- окрестности точки х0, то соответствующие значения функции останутся в - окрестности точки L:
А
налогично,
геометрический смысл предела слева
ясен из рисунка. Отличие от предыдущего
случая состоит в том, что
значения аргумента берутся из -
окрестности х0 только слева:
Или для предела справа – значение аргумента берутся из - окрестности точки х0 только справа от этой точки:
П
ределы
и
называются односторонними пределами.
Если оба односторонних предела в точке х0 существуют и равны между собой, то говорят, что функция имеет двухсторонний предел при xx0 или просто имеет предел при х стремящимся к х0.
Покажем теперь, что если функция имеет предел, то он единственный. Это легко установить геометрически. Допустим обратное: что существует два предела L1 и L2.
Для любого ε , в соответствии с определением предела можно указать такую окрестность точки х0, что все значения функции будут находиться в - окрестности L. Возьмем столь малым, чтобы обе полосы не имели общих точек. Тогда при х из окрестности х0 график функции должен находиться одновременно в ε-окрестности L1 ε в ε окрестности L2. Но так как мы рассматриваем только однозначные функции, то график функции не может находиться одновременно в каждой из этих полос. Таким образом, любая функция либо совсем не имеет предела, либо имеет только один.
В случае, если надо дать определение предела при x+ либо x- , можно дать следующее определение окрестности точки х0, которое позволит включить в определение предела эти случаи.
Пусть
-
-
окрестность точки х0, причем
>0.
Е
сли
,
то функция
называется бесконечно
малой в точке
.
Например, функция
Если
то
функция называется бесконечно
большой в точке
.
Например, функция
1.3. Бесконечно малые функции и бесконечно большие функции
Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами:
1) Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых в некоторой точке функций есть функция, бесконечно малая в той же точке.
2) Произведение любого конечного числа бесконечно малых в некоторой точке функций есть функция, бесконечно малая в той же точке.
3) Произведение бесконечно малой в некоторой точке функции на функцию ограниченную есть функция, бесконечно малая в той же точке.
Бесконечно малые в некоторой точке х0
функции (x)
и (x)
называются бесконечно малыми одного
порядка, если
Если
называется
бесконечно малой более
высокого порядка по
сравнегию с
Бесконечно
малые в некоторой точке функции называются
эквивалентными,
если
Обозначается
Пример 1.
Бесконечно малые
являются бесконечно малыми одного
порядка, т.к.
Пример 2.
является бесконечно малой более высокого
порядка, чем
при
,
т.к.
Пример 3.
Бесконечно малые при
являются эквивалентными, так как
Предел отношения бесконечно малых
(бесконечно больших) функций не изменится,
если каждую из них заменить
эквивалентной ей функцией, т.е.
если
