3) Берется сумма всех этих произведений

или, если обозначить через ,

(А)

4) находится предел I суммы при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала, и следовательно, при ,т.е.

В рассмотренных выше четырех конкретных задачах этот предел I измеряет соответственно площадь, работу, путь. В общем случае он называется определенным интегралом или просто интегралом от функции в пределах от а до b и обозначается так:

и читается: интеграл от а до b на dx. Следовательно, по определению

(*)

Сумма (А) называется п-й интегральной суммой.

Определение. Определенным интегралом называется предел, к которому стремится п-я интегральная сумма (А) при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала.

Применяя определение интеграла к четырем конкретным вопросам, разобранным выше полученные выводы выразить в таких словах:

1) площадь криволинейной трапеции равна интегралу от ординаты линии, ограничивающей трапецию, взятому по основанию: ;

2) работа, произведенная силой, равна интегралу от силы, взятому по пути:

3) путь, пройденный телом, равен интегралу от скорости, взятому по времени:

Имеет место следующая так называемая теорема существования определенного интеграла:

Теорема, п-я интегральная сумма, соответствующая конечному иитервалу изменения переменной х, , и непрерывной на нем функции , при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала стремится к пределу, и притом к одному и тому же, независимо от способа разбиения интервала на частичные интервалы и независимо от того, какие значения х в частичных интервалах принимаются в качестве чисел .

Доказывать теорему мы не будем.

Символ интеграла указывает на его происхождение: является как бы вытянутой буквой s, первой буквой слова «summa»; выражение, стоящее справа от (говорят также: под) символа интеграла, показывает вид суммируемых слагаемых; индекс при переменной в выражении под интегралом опущен, чем подчеркивается, что в процессе суммирования, завершающегося предельным переходом, переменная х принимает все значения в интервале ; числа, стоящие под и над символом интеграла, указывают концы интервала, на котором производилось суммирование.

Функция называется подынтегральной функцией, выражение — подынтегральным выражением, число а — нижним, а число b — верхним пределами¹⁾ интеграла, переменная х -— переменной интегрирования, интервал — интервалом интегрирования. Интегральные суммы, составленные при различных разбиениях интервала интегрирования и различных выборах точек , могут отличаться друг от друга весьма значительно. Сформулированная выше замечательная теорема показывает, что разница между ними стирается, вообще говоря, по мере возрастания числа точек деления и убывания длины наибольшего частичного интервала, совсем исчезая в пределе.

Символ изображает просто число. Это число не зависит от обозначения переменной интегрирования, так что справедливо равенство

Операция вычисления определенного интеграла по заданной подынтегральной функции и заданному интервалу интегрирования называется определенным интегрированием функций.

Вычисление определенного интеграла при помощи метода, прямо вытекающего из определения, встречает трудности в самых, казалось бы, простых случаях. Поэтому мы даже не будем приводить примеров такого вычисления и прямо перейдем к изложению основных свойств определенного интеграла, которые, в конечном счете, и приведут нас к установлению обходного, несравненно более удобного и легкого пути для вычисления интегралов.