ОГЛАВЛЕНИЕ:

ЧАСТЬ 1. ОСНОВНЫЕ ИДЕИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 2

ГЛАВА 1. ФУНКЦИИ, ПРЕДЕЛЫ, БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ, БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ 2

1.1. Функции, функции числового аргумента, обратные функции, сложные функции, ограниченные функции 2

1.2. Пределы, пределы слева, пределы справа 2

1.3. Бесконечно малые функции и бесконечно большие функции 4

1.4. Основные элементарные функции. Пределы элементарных функций. Свойства пределов 5

ГЛАВА 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ, ИМЕЮЩИЕ РАЗРЫВЫ 8

2.1. Непрерывность функции 8

2.2. Разрывность функции 8

ГЛАВА 3. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ 9

3.1. Нахождение производной 9

3.2. Связь непрерывности и дифференцируемости функции 10

3.3. Производные высших порядков, дифференцирование 10

3.4. Использование понятия производной при нахождении пределов 10

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ, ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА 12

ЧАСТЬ 2. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 14

ГЛАВА 1. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ, ИХ ГРАФИК, НЕПРЕРЫВНОСТЬ 14

ГЛАВА 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ, ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 16

ГЛАВА 3. ФУНКЦИИ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ 18

ЧАСТЬ 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 18

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ И НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 18

ГЛАВА 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 21

2.1. Метод замены переменной, интегрирование по частям 23

2.2. Многочлен. Рациональные дроби. Интегрирование простейших рациональных дробей 28

2.3. Интегрирование рациональных дробей и некоторых иррациональных функций 32

2.4. Интегрирование тригонометрических функций. Общие замечания о методах интегрирования 37

ГЛАВА 3. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 41

3.1. Введение определенного интеграла 41

Как указано выше, мы считаем, что переход к пределу совершается при условии 43

A=PS. 43

3) Берется сумма всех этих произведений 44

3.2. Простейшие свойства определенного интеграла, его геометрический смысл и оценка 45

и 46

Вследствие теоремы III мы в дальнейшем при изучении интеграла 46

Доказательство. Пусть в интервале . Тогда в интегральной сумме 47

Имея это в виду, мы в дальнейшем определенный интеграл всегда можем рассматривать независимо от конкретного смысла переменной интегрирования х и функции как алгебраическую площадь криволинейной трапеции с основанием , ограниченной линией . 48

3.3. Оценка интеграла. Теорема о среднем. Среднее значение функции. 48

3.4. Интеграл с переменным верхним пределом 51

3. 5. Способы вычисления определенных интегралов. Несобственные интегралы. 54

3.5.1. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле. 54

3.5.2. Несобственные интегралы. 55

ПРИЛОЖЕНИЕ 59

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: 64

Часть 1. Основные идеи математического анализа, дифференциальное исчисление глава 1. Функции, пределы, бесконечно большие, бесконечно малые

1.1. Функции, функции числового аргумента, обратные функции, сложные функции, ограниченные функции

Введем сначала определения и обозначения.

Множество вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам называется сегментом или отрезком и обозначается [a,b].

Множество вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а<x<b называется интервалом и обозначается (а,b). Множество всех вещественных чисел называется числовой прямой и обозначается .

Множество вещественных чисел, удовлетворяющих неравенству , называется полупрямой и обозначается или .

Множество вещественных чисел, удовлетворяющих неравенству х>a (или х<b) называется открытой полупрямой и обозначается или .

Любой интервал, содержащий заданную точку х, называется окрестностью точки х.

Интервал , где называется - окрестностью точки х и обозначается .

-окрестностью бесконечности называют множество всех чисел х, таких, что , т.е. .

-окрестностью называется .

- окрестностью называется .

Пусть имеются два множества E и F. Соответствие (или правило), которое каждому элементу х, принадлежащему Е ставит в соответствие один и только один элемент y, принадлежащий F, называется отображением множества Е в множество F или функцией с областью определения Е и областью значений F. Это отображение (или функцию) обозначают обычно буквой f и записывают у=f(х). Возможен такой частный случай, когда каждый элемент, принадлежащий F имеет единственный прообраз в Е. В этом случае можно определить обратное отображение (функцию). Функцией, обратной к f называется функция f^-1, которая каждому элементу у, принадлежащему F ставит в соответствие единственный элемент х=f^-1 (у), принадлежащий Е такой, что f(х)=у. Например: функция служит обратным отображением для функции x=x² (для всех ). Обе эти функции отображают множество R действительных чисел на себя.

Пусть f есть отображение множества Е во множество F, а g - отображение F во множество G, и пусть х принадлежит Е; тогда у=f(х) принадлежит F и можно рассматривать элемент z=g(у), который принадлежит G. Таким образом, каждому х, принадлежащему Е, соответствует z, принадлежащее G, и тем самым определено отображение множества Е в G, называемое сложной функцией или композицией отображения f на g или g[f(x)].

Наиболее часто встречается случай, когда Е и F представляет собой подмножества множества действительных чисел R. В этом случае отображение называют функцией числового аргумента. Для наглядного представления таких функций может быть использован график (множество точек плоскости R² с абсциссой х и ординатой f(x)).

Последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел, поэтому ее значения могут быть занумерованы: f(1), f(2), ...f(n).... Числовой последовательностью называется последовательность, члены которой f(n) - вещественные числа. Примером числовой последовательности может служить натуральный ряд 1, 2, … n, …

Функция f(x) называется ограниченной на некотором множестве А, если существуют числа m и M, такие,

что mf(x)M для любого х из множества А. Например, функция у = sin х, ограничена m = -1 и М = +1.