7. Методические рекомендации для выполнения третьего задания и решение задания нулевого варианта

Задание 3. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 20. Требуется при заданном уровне значимости α = 0.05 проверить гипотезу о равенстве генеральной средней гипотетическому значению

а_о = 30.5. Выборка представлена таблицей: Таблица 1

хi	31.89	29.82	30.28	29.91	31.42	31.21	30.09	30.24	29.85	31.25
хi	30.19	29.78	29.66	30.85	30.89	31.80	30.20	30.45	31.04	28.89

Необходимые знания.

Понятия: гипотеза, нулевая и конкурирующая гипотезы, их обозначения; уровень значимости; критерий проверки гипотезы; критическая область и их виды; критические точки и методики их нахождения; правила принятия решения.

Рекомендации по выполнению задания и решение задания нулевого варианта

1. Для решения задания необходимо сделать анализ: внимательно прочитать условие задачи, установить, что дисперсия генеральной совокупности неизвестна. Исходя из этого выбрать соответствующую статистику (методику) определения критической области.

По условию признак Х = N(а, σ), т.е. нормально распределен, n = 20, уровень значимости α = 0.05, гипотетическое значение а_о = 30.5. Требуется проверить нулевую гипотезу Н_о: а = а_о = 30.5. Обратим внимание на то, что варианты, заданные таблицей, не равноотстоящие. Поэтому, прежде чем переходить к этапам проверки гипотезы, эту ситуацию улучшим для удобства расчета. Найдем минимальную варианту, ею является 28.89, за шаг h примем 0.5. Это позволит составить новую таблицу 2, в которой вместо вариант взяты интервалы. Заменив интервалы серединами, получим нужную для вычисления таблицу 3, задающую выборку.

Таблица 3

Интервалы	28.89-29.39	29.39-29.89	29.89-30.39	30.39-30.89	30.89-31.39	31.39-31.89
Варианты	29.14	29.64	30.14	30.64	31.14	31.64
Частоты	1	4	6	3	3	3

Учитывая, что признак генеральной совокупности распределен нормально, дисперсия не известна, критерий проверки гипотезы можно выбрать случайную величину φ = (Х_в – а_о)√n/S = t (к = n - 1), которая имеет

t – распределение с к = n – 1 степенями свободы.

Будем решать задачу по этапам, рассматривая три случая.

Случай 1: Н₁: а > а_о = 30.5.

Этап 1. Сформулируем гипотезы. Нулевая Н_о: а = а_о = 30.5, конкурирующая Н₁: а > а_о = 30.5.

Этап 2. Зададимся уровнем значимости α = 0.05.

Этап 3. Выберем критерий для проверки гипотезы φ = (Х_в – а_о)√n/S =

t (к = n - 1),

Этап 4. Найдем критическую область. При условии выдвинутой конкурирующей гипотезы мы имеем правостороннюю критическую область. Критическую точку найдем из уравнения Р(t (к = n - 1) > ) = α.

Для нахождения критической точки воспользуемся схемой:

α., n –> к = n – 1, γ = 1 - α. (по таблице) –> t –> х^кр_пр = t.

α = 0.05, n = 20→ к = 20 – 1 = 19, γ = 1 – 0.05 = 0.95.

По таблице t_γ (к = 19) = 2.093. Таким образом, получаем критическую область (2.093; + ∞).

Этап 5. Найдем численное значение критерия. Для поиска численного значения критерия необходимо найти среднее выборочное и исправленную выборочную дисперсию. Для их поиска составим расчетную таблицу 4, используя условные варианты и метод произведения.

Таблица 4

хi	ni	ui	ni ui	ni ui2	ni (ui + 1)2
29.14	1	- 2	- 2	4	1
29.64	4	- 1	- 4	4	0
30.14	6	0	0	0	6
30.64	3	1	3	3	12
31.14	3	2	6	12	27
31.64	3	3	9	27	48
Σ	n=20		Σ ni ui = 12	Σ ni ui2 = 50	Σ ni (ui + 1)2 = 94

Осуществим проверку правильности составления таблицы

94 = Σ n_i (u_i + 1)² = 50 + 24 + 20 = 94.

М₁^* = (Σ n_i u_i)/n = 12/20 = 0.6.

М₂^* = (Σ n_i u_i²)/n = 50/20 = 2.5.

Найдем среднее выборочное:

х_в = М₁^*h + С = 0.6 · 0.57 + 30.14 = 30.44.

D_в = [М₂^* - (М₁^*)² ] h² = [2.5 – (0.6)² ]0.25 = [2.5 – 0.36]0.25 = 0.54.

s² = n/(n – 1) · D_в = 20/19 · 0.54 = 0.57, s = 0.75.

φ_чис = (30.44 – 30.5)/ (0.75/4.5) = - 0.06/0.17 = - 0.35.

Так как φ_чис = - 0.35 не принадлежит критической области, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Случай 2. Н₁: а < а_о = 30.5.

Рассуждая аналогично, найдем критическую область (- ∞, - 2.093). φ_чис = - 0.35. Так как φ_чис = - 0.35 не принадлежит критической области, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Таким образом, можно утверждать, что нулевая гипотеза может быть принята, т.е. выборка согласуется с генеральной совокупностью.