2.3. Основные теоретические вопросы и методические

рекомендации для выполнения третьего задания

1. Статистическая гипотеза. Виды гипотез

Часто исследуется генеральная совокупность на признак Х при условии, что его закон распределения Х неизвестен, или закон распределения известен, но неизвестны числовые характеристики. В таком случае делают оценку. Однако заменить значит заменить. При замене возможны ошибки. Поэтому необходимы методики, позволяющие проверить характер ошибок, т.е. являются ли они систематическими или случайными. Такие методики в статистике разработаны, и теория их описывающая, носит название теории гипотез.

Статистической гипотезой называется гипотеза о виде неизвестного закона распределения признака Х или о параметре известного распределения. Например, статистическая гипотеза: генеральная совокупность распределена по закону Пуассона. Когда выдвигается гипотеза, то рассматривается еще одна, ей противоположная. Если после проверки гипотеза отвергается, то принимается противоположная.

Гипотеза, которая выдвигается, называется нулевой или основной. Она обозначается через Н_о. Гипотеза, противоположная нулевой, называется конкурирующей или альтернативной. Она обозначается Н₁.

Например, пусть Н_о: а = 10, где а – математическое ожидание нормально распределенной генеральной совокупности. Тогда конкурирующими гипотезами могут быть Н₁: а > 10; Н₁: а < 10; Н₁: а ≠ 10.

Когда выдвигается и проверяется гипотеза, то одна из них отвергается, тогда другая принимается. При этом тоже могут быть допущены ошибки. Ошибка первого рода состоит в том, что нулевая гипотеза отвергается, в то время как она правильная. Вероятность совершить такую ошибку обозначают α и называют уровнем значимости. Уровень значимости задается и, как правило, равен 0.05 или 0.01. Ошибка второго состоит в том, что нулевая гипотеза принимается, в то время как правильной является конкурирующая гипотеза. Вероятность совершить ошибку такого рода обозначают β.

2. Статистический критерий

Выдвинутую гипотезу необходимо проверить. Для этого используют специальные случайные величины, закон распределения которых известен и задан таблицей. Такими случайными величинами, например, являются U, которая имеет нормальный закон распределения; F или U² , которые распределены по закону Фишера-Спедекора; Т – случайная величина, распределенная по закону Стьюдента; χ² – «хи-квадрат», имеющая закон распределения Пирсона.

Случайная величина, которая служит для проверки статистической гипотезы, называется статистическим критерием или просто критерием.

3. Критическая область. Область принятия решения.

Критические точки

Пусть исследуется генеральная совокупность на количественный признак Х. Путь закон распределения признака Х известен, а среднее генеральное неизвестно и его надо оценить. Для проверки выдвигаются гипотезы нулевая и конкурирующая. Для проверки нулевой гипотезы выбирается случайная величина – критерий К. К является функцией статистической выборки и принимает числовые значения. Для одних значений критерия К гипотеза Н_о отвергается, а для других значений оснований отвергать гипотезу нет. Поэтому область значений критерия делится на две: критическую и область принятия решения.

Критической областью называется совокупность значений критерия К, для которых нулевая гипотеза отвергается. Областью принятия решения называется совокупность значений критерия К, для которых нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Основное правило проверки статистической гипотезы: если наблюдаемое (численное) значение критерия К_чис принадлежит критической области, то гипотеза Н_о отвергается; если наблюдаемое значение критерия К_чис не принадлежит критической области, то нет оснований гипотезу Н_о отвергать.

Из выше изложенного, ясно, что область значений критерия делится на две области точкой, которая обозначается k _кр и называется критической точкой. Возможны три случая: k _кр > 0, тогда критическую область называют правосторонней; k _кр < 0, тогда критическую область называют левосторонней; в случае, когда имеют место две точки, область называют двусторонней. Будем рассматривать случай, когда критические точки симметричны относительно начала координат. В этом случае находят правостороннюю точку

k ^пр _кр , а левосторонняя k ^лев _кр = - k ^пр _кр .