6. Методические рекомендации для выполнения второго задания
и решение задания нулевого варианта
Задание 2. Из нормально распределенной генеральной совокупности осуществлена выборка (см. задание 1). Найти доверительный интервал для генеральной средней по заданной доверительной вероятности γ = 0.95: а) для случая, когда дисперсия известна (взять из первого задания дисперсию) и б) когда дисперсия неизвестна; в) найти доверительный интервал для генеральной среднеквадратической.
Необходимые знания:
Понятие оценки, точечная и интервальная оценка, требования к оценке, доверительный интервал, доверительная вероятность, формулы для нахождения доверительных интервалов.
Методические рекомендации и решение задачи из нулевого варианта.
Решение.
1. Для решения необходимо усвоить весь необходимый теоретический материал, выписать таблицу из первого задания, установить цель выполнения заданий каждого пункта, построить модели поэтапного выполнения заданий.
а) По условию задания исследуется генеральная совокупность на признак Х = N(а, σ). Осуществлена выборка объема n = 200, заданная таблицей. Согласно условию и решению задания 1 дисперсия D(Х) = 256.83. Требуется найти доверительный интервал для средней генеральной а при заданной дисперсии и доверительной вероятности γ = 0.95.
Так как Х – нормально распределенная случайная величина, то доверительный интервал находится следующим образом:
(
< а <
),
где
=
δ – точность оценки; t
находится с помощью функции Лапласа
Ф(t)
=
.
γ = 0.95, = 0.475, Ф(t) = = 0.475. По таблице находим аргумент t = 1.67.
Так
как n
= 200, σ =
= 16.03, хв =
80.75 (найдено в первом задании), получаем
границы доверительного интервала:
= 80.75 – 1.67ּ16.03/14.14 = 80.75 – 1.67 ּ1.13 = 80.75 – 1.89 = 78.86;
= 80.75 + 1.67ּ16.03/14.14 = 80.75 + 1.67 ּ1.13 = 80.75 + 1.89 = 82.64.
Доверительным интервалом для а при заданной дисперсии является интервал (78.86; 82.64).
б)Так как дисперсия неизвестна, то доверительный интервал для генеральной средней находится по формуле:
(
<
а <
),
где tγ
= t
(γ, n)
находится по таблице, s
– «исправленное» выборочное
среднеквадратическое отклонение.
хв
= 80.75; s2
=
=
(200/199)·256.83 = 258.12, s = 16.07.
tγ = t (γ, n) = t (0.95; 200) = 1.98.
Найдем границы доверительного интервала:
= 80.75 – 1.98 · 16.07/14.14 = 80.75 – 1.98 · 1.14 =
= 80.75 – 2.26 = 78.49;
= 80.75 + 1.98 · 16.07/14.14 = 80.75 + 1.98· 1.14 =
= 80.75 + 2.26 = 83.01.
Доверительным интервалом для а при незаданной дисперсии является интервал (78.49; 83.01).
в) Найдем доверительный интервал для генерального среднеквадратического отклонения.
В этом случае при заданной надежности γ = 0.95 интервальной оценки является: s (1 - q) < σ < s(1 + q), где q = q(γ, n). Найдем по таблице
q = q(0.95; 200) = 0.099, s = 16.07.
Найдем границы доверительного интервала:
s(1 - q) = 16.07(1 – 0.099) = 14.46;
s(1 + q) = 16.07(1 + 0.099) = 17.66.
Таким образом, доверительным интервалом для генерального среднеквадратического отклонения является интервал (14.46; 17.66).