Работа, мощность, энергия. Законы сохранения

Поступательное движение

• Работа, совершаемая постоянной силой F

,

где - вектор перемещения,  - угол между векторами силы и перемещения. [A] = 1 Дж

• Работа, совершаемая переменной силой F(r)

• Мощность , где - скорость тела, [Р] = 1 Вт.

• Кинетическая энергия , где p - импульс, m – масса.

• Потенциальная энергия упругодеформированного тела (пружины)

,[W] = 1 Дж.

где к - коэффициент упругости (жесткость), x - абсолютная деформация.

• Потенциальная энергия тела в поле тяжести

W_пот = mgh,

где h - высота над уровнем, принятом за нулевой.

Вращательное движение

• Работа при вращении вокруг оси

A = M, где M - момент сил,  - угол поворота.

• Кинетическая энергия вращающегося тела

,

где L - момент импульса тела,

I- момент инерции.

• Момент импульса твердого тела относительно оси вращения

где r_i - расстояние отдельной частицы до оси вращения, I_z - момент инерции тела относительно оси,  - угловая скорость.

• Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения

где v_с - скорость центра масс тела, I_с- момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

• Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы)

W_кин + W_пот = W_полн = const

• Закон сохранения импульса для замкнутой системы

• С корости u₁ и u₂ двух тел массами m₁ и m₂ после абсолютно упругого центрального удара

где v₁ и v₂ - скорости тел до удара.

• Скорость u двух тел массами m₁ и m₂ после абсолютно неупругого центрального удара.

• З акон сохранения момента импульса для замкнутой системы

г армонические колебания

• Уравнение гармонических колебаний .

• Характеристики колебаний:

1) x(t) – смещение от положения равновесия, периодическая функция времени: x(t + T) = x(t). Может быть положительной величиной, отрицательной, равной нулю. Для механических колебаний [x] = 1 м, (см, мм);

2) А – амплитуда колебания – максимальное смещение, взятое по модулю. А = |x_max|. Величина, которая стоит перед знаком косинуса. Имеет размерность отклонения от положения равновесия;

3) Т – период колебания – время одного полного колебания. [T] = 1 c, , где t – время, N – число колебаний;

4) n – линейная частота – число колебаний за одну секунду , [n] = 1 Гц = 1 с^–1;

5) w₀ – циклическая частота (круговая частота)– число колебаний за 2p секунд, , [w] = 1 с^–1, [w] = 1 рад/с;

6) j – фаза колебания – – характеризует мгновенное состояние колебательной системы, определяется смещением от положения равновесия и временем. Величина, которая стоит под знаком косинуса. [j] = 1 рад

7) j₀ – начальная фаза колебания – фаза колебания в момент времени t = 0.

• Скорость точки, совершающей гармонические колебания

, где

• Ускорение точки, совершающей гармонические колебания , .

• сила, под действием которой совершаются гармонические колебания , .

• Потенциальная энергия точки, совершающей гармоническое колебание

• Кинетическая энергия точки, совершающей гармоническое колебание

• закон сохранения полной механической энергии точки, совершающей гармоническое колебание.

• Сложение колебаний

а) одного направления

x₁ = A₁cos(₀t + ₀₁), x₂ = A₂cos(₀t + ₀₂), x = x₁ + x₂, , где ,  = ₀₂ - ₀₁, .

б) взаимно перпендикулярных

x = A₁cos(₀t + ₀₁), y = A₂cos(₀t + ₀₂).

– уравнение траектории – эллипс, не приведенный к осям

Частные случаи:

а)  = 0 ( = 2m, m = 0, 1,…), – прямая, проходящая через I и III квадранты.

б)  =  ( = (2m+1), m = 0, 1, …), – прямая, проходящая через II и IV квадранты.

в)  = /2 ( = (2m+1)/2, m = 0, 1,…), а) Если А₁  А₂ – эллипс, приведенный к осям,

б) если А₁ = А₂ = А – окружность

• Дифференциальное уравнение гармонических механических свободных незатухающих колебаний

, его решение – , где ₀ – собственная частота гармонического осциллятора.

Примеры гармонических осцилляторов

а ) пружинный маятник – _,

б ) математический маятник – _,