5. Уравнения в полных дифференциалах

Определение 1. Дифференциальное уравнение 1-го порядка вида

(5.1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y), т.е.

, .

Для того чтобы уравнение (5.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

. (5.2)

Если уравнение (5.1) есть уравнение в полных дифференциалах, то оно может быть записано в виде

.

Общий интеграл этого уравнения:

,

где С – произвольная постоянная.

Функция U(x,y) может быть найдена следующим образом. Интегрируя равенство по x при фиксированном y и замечая, что произвольная постоянная может зависеть от y, имеем

. (5.3)

Затем из равенства

находим функцию φ(y), подставив которую в (5.3), получим функцию U(x,y).

Очевидно, что искомая функция U(x,y) определена с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Для записи общего интеграла исходного уравнения достаточно выбрать одну из функций получаемого семейства.

Другой метод отыскания функции U(x,y) состоит в вычислении криволинейного интеграла 2-го рода:

,

где точки и M(x,y) и путь интегрирования лежат в области непрерывности функций P(x,y) и Q(x,y) и их частных производных, причем - некоторая фиксированная точка.

Решение типовых примеров

Пример 1. Решить уравнение

,

предварительно убедившись, что это есть уравнение в полных дифференциалах.

Решение. Проверим условие (5.2):

; .

Условие (5.2) выполнено, следовательно, заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

Найдем функцию U(x,y).

Первый способ. Интегрируя по x при постоянном y равенство

,

получим

. (5.4)

Заметим, что при вычислении первообразной мы здесь пишем lnx, а не ln|x|, так как исходное уравнение содержит lnx и, следовательно, имеет смысл лишь при x>0.

Подставляя (5.4) в равенство

,

имеем

,

откуда

. (5.5)

Положив, например, , находим из (5.4) и (5.5)

.

Следовательно, общий интеграл заданного уравнения имеет вид

.

Второй способ.

.

Положим, например, , . Тогда и

.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение вида , где . Поэтому является уравнением в полных дифференциалах. Следовательно, левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции , то есть

.

Проинтегрируем по x:

Найдем производную функции , продифференцировав последнее выражение по :

.

Получаем уравнение . Тогда .

Таким образом, общий интеграл уравнения:

.