Решение типовых примеров

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Применим метод вариации произвольной постоянной. Рассмотрим сначала соответствующее однородное линейное уравнение

.

Его общее решение . Следовательно, общее решение исходного уравнения ищем в виде . Подставляем y и в данное уравнение:

,

откуда , и тогда . Следовательно, общее решение уравнения имеет вид:

.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение в виде

и заметим, что оно линейно относительно x и . Решим его методом подстановки.

Положим x=uv и приведем уравнение к виду

. (3.6)

Найдем функцию , решая уравнение

и выбирая из его общего решения одно частное решение, например, . Подставляя в уравнение (3.6), получим:

, или .

Общее решение этого уравнения:

.

Перемножая и v(y,C), получаем общее решение данного уравнения:

.

Пример 3. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Разделив все члены данного уравнения на , приведем его к виду (3.1):

. (3.7)

Здесь , . Положим , откуда .

Подставим эти значения y и y′ в уравнение (3.7):

.

Сгруппируем члены, содержащие, например, v, и вынесем v за скобку):

. (3.8)

Выберем u так, чтобы выражение в скобках обращалось в нуль, т.е. чтобы

. (3.9)

Тогда уравнение (3.8) примет вид

. (3.10)

Итак, исходное уравнение мы можем привести к виду (3.10) заменой , где u – любое решение уравнения (3.9).

Решаем уравнение (3.9) как уравнение с разделяющимися переменными:

.

Интегрируя, получаем:

,

откуда

. (3.11)

Подставив значение u в уравнение (3.10), найдем:

,

откуда

. (3.12)

Заменив в подстановке функции u и v их выражениями из равенств (3.11) и (3.12), получим искомое общее решение данного уравнения:

,

или

.

Пример 4. Найти частное решение уравнения , если при x=1.

Решение. Запишем данное уравнение в виде

.

Положим , откуда . Подставляем значения y и y′ в последнее уравнение:

.

Сгруппируем члены, содержащие v, и вынесем v за скобки:

. (3.13)

Найдем функцию u такую, что

. (3.14)

Тогда уравнение (3.13) примет вид

. (3.15)

Решаем уравнение (3.14) как уравнение с разделяющимися переменными:

,

откуда, после интегрирования, , то есть

. (3.16)

Подставив значение функции u в уравнении (3.16), найдем:

.

Отсюда

.

Итак, общим решением данного уравнения является функция

.

Находим частное решение, удовлетворяющее начальному условию при x=1:

.

Следовательно, искомым частным решением является функция

.

Пример 5. Проинтегрировать уравнение .

Решение. Данное уравнение является линейным уравнением первого порядка. Положим , тогда . Подставляя выражения для и в данное уравнение, получим

.

Сгруппируем выражения, содержащие, например переменную :

.

Подберем таким образом, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль. Тогда или .

Решим оставшееся уравнение

.

Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид .