Примеры для самостоятельного решения
Задача 1
Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16.
1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
1.22.
1.23.
1.24.
1.25.
.
1.26.
.
1.27.
.
1.28.
.
1.29.
.
1.30.
.
Однородные уравнения
Определение 1. Функция g(x,y) называется однородной функцией k-го измерения (k-й степени), если при любом t (кроме, быть может, t=0) имеет место тождество
.
Например,
- однородная функция третьего измерения,
т.к.
.
Аналогично доказывается, что функции
,
,
являются однородными функциями соответственно первого, нулевого и второго измерений.
Определение 2. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно представить в виде
,
(2.1)
где P(x,y) и Q(x,y) – однородные функции одинакового измерения.
Однородное дифференциальное уравнение приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными подстановкой
,
(2.2)
где
- новая неизвестная функция.
Дифференциальные уравнения вида
(2.3)
в
случае
приводятся к однородным уравнениям с
помощью замены переменных
,
,
где m и n находятся из системы уравнений
,
.
Поскольку здесь dx=du, dy=dv, то уравнение (2.3) преобразуется к виду (2.1) относительно функции v(u):
.
Если
в уравнении (2.3)
и, следовательно,
,
то оно примет вид
.
Подстановкой
последнее уравнение преобразуется к
уравнению с разделяющимися переменными.
Решение типовых примеров
Пример 1. Решить уравнение
.
Решение.
Положим
,
или
.
Тогда
,
что после подстановки в исходное
уравнение дает уравнение с разделяющимися
переменными
.
Разделяем переменные:
и интегрируем:
.
Получаем общее решение:
,
.
Возвращаясь к функции y, находим:
,
.
При
делении на cosu
были потеряны решения
,
.
Добавляя их к полученному семейству
решений, находим общий интеграл в виде
,
;
.
Пример 2. Найти общее решение уравнения
.
Решение.
В данном уравнении функции
,
- однородные второго измерения,
следовательно, данное уравнение является
однородным.
Положим
,
откуда
.
Подставляем эти выражения y
и dy
в данное уравнение:
Разделяем переменные:
.
Интегрируем почленно это уравнение:
.
Возвращаясь
к прежней функции
,
находим искомое общее решение:
.
Пример 3. Найти частное решение уравнения
,
если y=2 при x=1.
Решение.
Записав данное уравнение в виде
,
легко можно убедиться в том, что оно
однородно.
Положим , откуда . Подставляем значения y и dy в последнее уравнение:
.
Интегрируя, получаем
,
откуда
.
Подставив в найденное общее решение начальные условия, найдем
.
Итак, искомое частное решение будет
,
или
.
Пример 4.
Выделить интегральную кривую
уравнения
,
проходящую через точку
.
Решение.
Очевидно,
что данное уравнение имеет вид
,
где
и
- однородные функции второй степени
однородности. Разрешим это уравнение
относительно
.
.
Положим
.
Тогда
.
Последнее уравнение – это уравнение с разделяющими переменными.
Разделяя переменные в уравнении, получаем
.