12.7. Математическая модель биологической популяции
Скорость
роста популяции представляет собой
разность между рождаемостью и смертностью
ее представителей в момент
времени t.
При
ограниченных пространстве и пищевых
ресурсах рождаемость пропорциональна
количеству особей, а смертность - квадрату
этого количества. Математическая
модель роста популяции в этом случае
описывается
дифференциальным уравнением
где
N(t)
-
количество особей в популяции в момент
времени
t
(размер популяции) ;
-
соответственно средняя рождаемость
и средняя смертность в данной популяции.
Приведенное
уравнение называется логистическим,
а
функция
N(t)
описывает
логистический
рост популяции.
При
логистическом росте популяция с течением
времени приближается
к предельному (равновесному)
размеру,
определяемому
как
Примеры для самостоятельного решения
12.7.1. Определить равновесный размер популяции, если на 1000 особей в единицу времени 100 особей рождается, а гибнет одна. Предполагается при этом, что начальная численность популяции равна 10 особям. Построить график логистической кривой.
12.7.2. Для популяции N(t), изменяющейся согласно уравнению логистического роста, доказать, что скорость роста максимальна тогда, когда популяция достигает численности, равной половине равновесного значения.
12.7.3. Популяция бактерий возрастает от начального размера в 100 единиц до равновесного размера в 100000 единиц. Предполагается, что в течение первого часа она увеличилась до 120 единиц. Считая, что рост популяции подчиняется логистическому уравнению, определить ее размер в момент времени t.
12.7.4. Проинтегрировать модифицированное логистическое уравнение
для
Построить графики N(t)
для
t
>
0 при N(0)
=
20 и N(0)
= 5.
12.7.5. Рост, выживание и деление клеток определяются потоком питательных веществ через оболочку клетки. Это означает, что на ранних стадиях клеточного роста увеличение массы клетки в момент времени t пропорционально квадрату радиуса клетки, а масса клетки пропорциональна его кубу. Построить дифференциальное уравнение, описывающее изменение массы клетки в зависимости от времени t, если начальная масса клетки равна а.
Литература
Альсевич Л.А., Черенкова Л.П. Практикум по дифференциальным уравнениям: Учебное пособие для вузов. М.: Высш. шк., 1990. – 318 с.
Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1978.
Богданов Ю.С. Лекции по дифференциальным уравнениям. - Минск: Высшая школа, 1977.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч.Учебное пособие для втузов. – 5-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 1996.
Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике: Учеб.для вузов/Под ред. В.С.Зарубина, А.П. Крищенко. - 2-е изд., стереотип. – М. Изд-во МГТУ им.Н.Э. Баумана, 2003.– 496с.
Карташев А.П., Рождественский Б. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. - М.: Наука, 1980.
Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: ИЛ, 1958.
Математическое моделирование. Процессы в сложных экономических и экологических системах. – М.: Наука, 1986. - 296 с.
Мищенко Е.Ф., Розов Н.X. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. - М.: Наука, 1975.
Никольский С.М. Курс математического анализа.- М.: Наука, 1975, т- 1, т.2.
Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1970.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. – 13-е изд. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, т.1, т. 2.
Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1974.
Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: — Наука, 1976.
Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. - М.: Наука, 1971.
Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1979.
Самарский А.А., Михайлов А.П. математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. – 2-е изд., испр. – М.: Физматлит, 2001.