Примеры для самостоятельного решения

12.5.1. Вычислить путь, пройденный поездом, и время его движения до полной остановки, если замедляющая сила есть линейная функция скорости.

12.5.2. Найти скорость движения материальной точки массой m при свободном горизонтальном полете под действием первоначального толчка и силы сопротивления среды модуль которой в зависимости от скорости движения дается формулой где - размерные постоянные.

12.5.3. Материальная частица массой m падает в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату скорости частицы (km – коэффициент пропорциональности). Найти закон изменения скорости от времени. Показать, что при скорость приближается к где g-ускорение свободного падения.

12.5.4. Материальной точке, находящейся на поверхности Земли (радиус Земли R), сообщена начальная вертикальная скорость (вторая космическая скорость). Определить закон движения точки (силой сопротивления воздуха пренебречь).

12.5.5. Пуля, двигаясь со скоростью пробивает стену толщиной h=20 см и вылетает из нее со скоростью Полагая силу сопротивления стены пропорциональной квадрату скорости движения пули, найти время Т движения пули в стене.

12.5.6. Судно водоизмещением 12000 т движется прямолинейно со скоростью Сопротивление воды пропорционально квадрату скорости судна и равно 36000 g H при скорости 1 м/с. Какое расстояние пройдет судно после остановки двигателя, прежде чем скорость станет равной 5м/с?

12.6. Растворение веществ

Скорость растворения твердого вещества в жидкости при постоянной температуре про­порциональна наличной в данный момент массе нераство­ренного вещества и разности между концентрацией насыщенного раствора и концентрацией в данный момент.

Решение типовых примеров

Пример 8. Нерастворимое вещество содержит в своих порах кг соли. Подвергая его действию воды, установили, что в течение 1 ч растворилась половина содержавшейся в нем соли. Сколько соли растворится в течение того же времени, если объем V воды удвоить? Концентрация насыщенного раствора равна 1/3.

Решение. Пусть x=x(t) - масса нерастворенной соли в момент времени t. Процесс растворения веществ описывается уравнением

где k - коэффициент пропорциональности; m- первоначальная масса соли.

В условиях рассматриваемой задачи имеем задачу Коши

решение которой

Для определения коэффициента k учитываем, что в течение t=1ч растворилось соли. В результате получим Если , то задача Коши имеет вид

Ее решение представимо в виде Полагая t=1ч, получаем, что осталось х=5,2 кг соли.

Примеры для самостоятельного решения

12.6.1. Нерастворимое вещество, содержащее в своих по­рах 2 кг соли, подвергается действию 30 л воды. Через 5 мин 1 кг соли растворяется. Через сколько времени растворится 99 % первоначальной массы соли, если концентрация насыщенного раствора равна 1/3?

12.6.2. Из некоторого химически недеятельного вещества добывают серу, растворяя ее в бензоле. Найти, сколько серы можно растворить в течение 6 ч, если в данном веще­стве содержится 6 г серы и если взято 100 г бензола (масса, в которой при насыщении растворяется 11 г серы). Известно, что коэффициент пропорциональности .

12.6.3. Дно резервуара вместимостью 0,3 м³ покрыто смесью соли и нерастворимого вещества. Допуская, что скорость растворения соли пропорциональна разности между концентрацией в данный момент и концентрацией насыщенного раствора (равной 1/3) и что данная масса чистой воды растворяет 1/3 кг соли в 1 мин, найти, сколько соли будет содержать раствор по истечении 1 ч.

12.6.4. В резервуаре вместимостью 0,1 м³ находится рас­сол, содержащий 10 кг растворенной соли. В резервуар вливается вода со скоростью м³/мин, а из него вытекает с такой же скоростью смесь, причем концентрация поддерживается однородной (например, посредством пере­мешивания). Сколько соли останется в резервуаре по истечении 1 ч?

12.6.5. В резервуаре находится 0,1 м³ рассола, содержа­щего 10 кг растворенной соли. В резервуар вливается вода со скоростью м³/мин, а из него вытекает смесь со скоростью м³/мин, причем концентрация поддерживается однородной посредством перемешивания. Сколько соли содержится в резервуаре по истечении 1 ч?

12.6.6. Воздух в помещении вместимостью V= 10 800 м ³ содержит 0,12 % СО2. В помещение равномерно поступает чистый воздух, содержащий 0,04 % СО₂. Сколько кубических метров воздуха ежеминутно поступает в помещение, если по истечении 10 мин содержание СО₂ падает до 0,06%? Найти закон изменения объема СО₂ с течением времени. (Указание. Считать, что в единицу времени в помещение поступает q м³ воздуха) .

12.6.7. Во фляжку вместимостью 1 л по одной трубке по­ступает кислород, а по другой вытекает смесь его с со­державшимся во фляжке воздухом. Допуская, что кон­центрация смеси поддерживается равномерной и воздух содержит 21 % кислорода, построить математическую модель рассматриваемого процесса.