2. Уравнения с разделяющимися переменными

Определение 4. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде

. (1.3)

Предположим, что . Тогда уравнение (1.3) можно переписать так:

. (1.4)

Уравнение вида (1.4) называется уравнением с разделенными переменными.

Интегрируя почленно уравнение (1.4), получим общее решение уравнения (1.3):

.

При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными полезно придерживаться следующей схемы:

1) разделить переменные;

2) интегрируя уравнение с разделенными переменными, найти общее решение данного уравнения;

3) найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (если они заданы).

Заметим, что если a является корнем уравнения , то, очевидно, функция y=a является решением уравнения (1.3). Поэтому, чтобы получить все решения уравнения (1.3), надо к полученному общему решению добавить еще решения вида y=a, где a – корень уравнения .

Решение типовых примеров

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Разделяем переменные:

.

Интегрируем:

,

или

(общий интеграл уравнения).

Если в уравнении с разделяющимися переменными функция имеет действительный корень , то есть если , то функция является решением уравнения (в чем легко убедиться непосредственной подстановкой). При делении обеих частей этого уравнения на (при разделении переменных) решение может быть потеряно.

Аналогично, при интегрировании уравнения могут быть потеряны интегральные кривые и , где - действительный корень уравнения ,

- действительный корень уравнения .

Поэтому, получив указанным выше методом разделения переменных общий интеграл уравнения, надо проверить, входят в его состав (при подходящих числовых значениях параметра С) упомянутые частные решения. Если входят, то потери решений нет. Если не входят, то их следует включить в состав интеграла.

Пример 2. Найти частное решение уравнения

,

если y=3 при x=1.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

.

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем:

.

Подставив начальные условия x=1, y=3, найдем С:

.

Следовательно, искомое частное решение будет

, или .

Пример 3. Найти общее решение уравнения

, x≠0.

Решение. Разделим переменные. Для этого преобразуем данное уравнение следующим образом:

(полагаем здесь y≠0).

Проинтегрируем обе части последнего равенства:

.

Для удобства потенцирования представим y в виде и постоянную интегрирования в виде , С≠0.Имеем:

.

Потенцируя, получим

, С≠0. (1.5)

В процессе решения мы предположили y≠0. Однако y=0 – решение данного уравнения (в этом легко убедиться проверкой). Следовательно, сняв в (1.5) ограничение С≠0 , мы получим, что

- общее решение данного уравнения (решение y=0 получается отсюда именно при С=0).

Пример 4. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Преобразуем левую часть уравнения

Разделим переменные, поделив обе части последнего уравнения на :

или

Обозначим произвольную постоянную через , что допустимо, так как (при ) может принимать любое значение от до .

Следовательно,

или - общий интеграл данного уравнения.

Пример 5. Решить уравнение

.

Решение. Разделяем переменные:

.

Интегрируем:

,

или

.

Для удобства потенцирования полученного равенства представим параметр в логарифмической форме, положив , (при этом принимает все значения от -∞ до +∞). Тогда

и, потенцируя, получаем общий интеграл в виде , откуда

. (1.6)

Заметим теперь, что исходное дифференциальное уравнение имеет, очевидно, еще решение y=0, которое не входит в запись (1.6), так как . Введем новый параметр С, принимающий, в отличие от , также и нулевое значение. Тогда решение y=0 войдет в состав общего решения .

Пример 6. Тело, имеющее в начальный момент времени (t=0) температуру , охлаждается в воздушной среде до температуры в течение мин. Найти время, за которое тело охладится до температуры 30°, если известно, что температура воздуха 20°, а скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха.

Решение. Обозначим температуру тела в любой момент времени t через T=T(t). Т.к. скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела T и температурой воздуха 20°, то получаем дифференциальное уравнение

. (1.7)

Здесь К – коэффициент пропорциональности. Уравнение (1.7) является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными, поэтому решаем его по указанной выше схеме.

Разделив переменные, получим

.

Интегрируя, находим:

,

или

. (1.8)

Равенство (1.8) является общим решением уравнения (1.7). Найдем частное решение, удовлетворяющее условию :

.

Итак, частным решением является функция

. (1.9)

Найдем числовое значение постоянной . Для этого воспользуемся условием, что Т(20)=60:

.

Таким образом, частное решение (1.9) можно записать так:

. (1.10)

В задаче требуется определить время, за которое тело охладится до температуры 30°.

Положив в равенстве (1.9) Т=30°, найдем:

(мин).

Итак, тело охладится до температуры 30° в течение одного часа.

С помощью подстановки к уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и дифференциальные уравнения вида

, b≠0.