Примеры для самостоятельного решения
Задача 11.1
Найти общее решение дифференциального уравнения.
11.1.1.
11.1.2.
11.1.3.
11.1.4.
11.1.5.
11.1.6.
11.1.7.
11.1.8.
11.1.9.
11.1.10.
11.1.11.
11.1.12.
11.1.13.
11.1.14.
11.1.15.
11.1.16.
11.1.17.
11.1.18.
11.1.19.
11.1.20.
11.1.21.
11.1.22.
11.1.23.
11.1.24.
11.1.25.
11.1.26.
11.1.27.
.
11.1.28.
.
Решение типовых примеров для 2,5 типа правых частей уравнений
Пример
5. Проинтегрировать уравнение
при начальных условиях y(0)=1,
y′(0)=2.
Решение.
Характеристическое уравнение
имеет корни
,
,
а потому общее решение однородного
уравнения
.
Частное решение неоднородного уравнения
следует искать в виде
(в данном случае α=0, β=1, α+βi=i; поскольку такого корня у характеристического уравнения нет, то r=0; m=n=0, а следовательно, l=0).
Итак,
.
Таким образом, имеем систему
то есть A=0, B=1.
Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид
.
Найдем и , используя начальные условия:
или
Отсюда
,
,
то есть
.
Пример
6. Найти частное решение уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
Решение.
Характеристическое уравнение
имеет корни
.
Общее решение соответствующего
однородного уравнения есть
.
Частное
решение неоднородного уравнения будем
искать в виде
,
так как 0±2i
- корни характеристического
уравнения кратности 1. Вычислив
и
и подставив
,
и
в исходное уравнение, получим
,
откуда B=-1, C=1 и, следовательно,
.
Общее
решение будет
.
Для нахождения и воспользуемся начальными условиями, предварительно продифференцировав общее решение:
.
Имеем:
,
.
Искомым частным решением является
функция
.
Пример
7. Найти общее
решение дифференциального уравнения
.
Решение.
Частное
решение
дифференциального
уравнения
нужно
искать в виде:
где
коэффициенты
и
определяются после подстановки
в уравнение. В нашем случае характеристическое
уравнение
имеет корни
,
поэтому
.
Рассмотрим правую часть исходного
уравнения. Так как
,
,
то согласно приведенному правилу имеем:
Подстановка , в исходное дифференциальное уравнение дает выражение:
.
Для
того чтобы это равенство выполнялось
тождественно, достаточно совпадение
коэффициентов при
и
в обеих частях последнего равенства,
то есть
Следовательно, частное решение неоднородного уравнения и общее решение данного уравнения соответственно имеют вид:
Примеры для самостоятельного решения
Задача 11.2
Найти общее решение дифференциального уравнения.
11.2.1.
11.2.2.
11.2.3.
11.2.4.
11.2.5.
11.2.6.
11.2.7.
11.2.8.
11.2.9.
11.2.10.
11.2.11.
11.2.12.
11.2.13.
11.2.14.
11.2.15.
11.2.16.
11.2.17.
11.2.18.
11.2.19.
11.2.20.
11.2.21.
11.2.22.
11.2.23.
11.2.24.
11.2.25.
11.2.26.
(α=const)
11.2.27.
11.2.28.
11.2.29.
11.2.30.
(m≠n)