Решение типовых примеров для 1,4 типа правых частей уравнений
Пример
1. Найти частное решение уравнения
,
удовлетворяющее краевым условиям
,
.
Решение.
Характеристическое уравнение
имеет корни
,
.
Общее решение соответствующего
однородного уравнения
.
Частное решение исходного уравнения
следует искать в виде
(так как в правой части отсутствуют
синус, косинус, коэффициентом при
показательной функции служит многочлен
нулевой степени, то есть l=n=0,
и r=0,
поскольку α=4
не является корнем характеристического
уравнения).
Итак,
Таким
образом,
.
Следовательно, общее решение данного
уравнения
.
Для
нахождения
и
воспользуемся краевыми условиями:
,
или
.
Отсюда
,
.
Итак,
.
Пример 2. Найти общие решения дифференциальных уравнений:
а)
.
Решение.
Общее решение данного уравнения имеет
вид
,
где
- общее решение сопровождающего
однородного уравнения
,
а
- частное решение
данного уравнения.
Решим
характеристическое уравнение
.
Его корни
.
Следовательно
.
Так
как данное уравнение – уравнение вида
то частное решение нужно искать по
формуле:
где
- многочлен степени n
с буквенными (неопределенными)
коэффициентами, которые определяются
после подстановки
в уравнение.
В
нашем случае
- многочлен первой степени, то есть
.
Следовательно,
,
поэтому частное решение данного
уравнения следует искать в виде
,
где коэффициенты
и
подлежат определению. Вычислим первую
и вторую производные от
:
Подстановка
,
в исходное уравнение дает (после
сокращения на
)
то есть
.
Для
того чтобы равенство было тождеством,
достаточно совпадения коэффициентов
при одних и тех же степенях
в обеих частях равенства, то есть
.
Из
этих уравнений находим
.
Следовательно, функция
является частным решением данного
уравнения, а функция
- его общим решением.
b)
.
Решим
характеристическое уравнение
.
Его корни
.
Следовательно,
.
Рассмотрим
правую часть данного уравнения:
,
то есть
.
Так
как
является простым корнем характеристического
уравнения, то
.
Следовательно,
Подстановка
в исходное уравнение
,
и сокращение полученного выражения на
дает
Тогда
,
а общее решение данного дифференциального
уравнения
,
то есть
.
с)
.
Решим
характеристическое уравнение
.
Его корни
.
Следовательно,
.
В
правой части уравнения
,
то есть
.
Следовательно,
После подстановки в исходное уравнение , получим
.
Тогда
.
d)
В
данном случае характеристическое
уравнение
имеет корни
.
Следовательно, общее решение сопровождающего
однородного уравнения имеет вид:
.
Так
как
,
то
,
-
двойной корень характеристического
уравнения, поэтому частное решение
неоднородного уравнения запишется в
виде:
.
Тогда
Подстановка
в уравнение
,
,
и сокращение на
дает выражение:
Тогда
- частное решение
неоднородного уравнения, а общее решение
данного уравнения
,
то есть
.
Пример 3. Найти общее решение уравнения
.
Решение.
Характеристическое уравнение
соответствующего однородного уравнения
имеет корни
,
.
Следовательно, фундаментальная система
решений имеет вид
,
,
а общее решение однородного уравнения
есть
.
Для
нахождения частного решения неоднородного
уравнения воспользуемся методом
неопределенных коэффициентов. Так как
λ=3
не является корнем характеристического
уравнения, то частное решение будем
искать в виде
.
Найдя производные
,
и подставив
,
и
в исходное уравнение, получим (после
сокращения на
)
.
Сравнивая коэффициенты обеих частей этого тождества, получим систему уравнений для определения неизвестных A, B, C:
,
,
,
откуда
,
,
.
Итак,
,
и, следовательно, общее решение уравнения
имеет вид
.
Пример 4. Найти общее решение уравнения
.
Решение.
Характеристическое уравнение
имеет двукратный корень λ=2.
Общее решение соответствующего
однородного уравнения есть
.
Частное
решение данного уравнения будем искать
в виде
,
так как показатель экспоненты в правой
части уравнения совпадает с двукратным
корнем характеристического уравнения.
Методом неопределенных коэффициентов
(то есть вычислив
и
,
подставив
,
и
в исходное уравнение, сократив на
и сравнив коэффициенты при одинаковых
степенях x) находим
,
.
Следовательно,
,
а общее решение принимает вид
.