Решение типовых примеров

Пример 1. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения , так как , , . Для нахождения частного решения неоднородного уравнения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. В этом случае

,

,

.

Умножив обе части второго уравнения на sinx, третьего на cosx и сложив, получим . Тогда из второго уравнения следует . Сложив обе части первого и третьего уравнений, найдем . Интегрирование дает:

, , .

Следовательно, искомое общее решение неоднородного уравнения имеет вид

.

Пример 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Определим решение данного уравнения методом вариации произвольных постоянных. Характеристическое уравнение имеет корни , поэтому общее решение сопровождающего однородного уравнения имеет вид .

Для нахождения нужно:

1)найти два линейно независимых частных решения сопровождающего однородного уравнения;

2)составить и решить систему уравнений где свободный член данного уравнения;

3) проинтегрировав и , найти функции и ;

4)составить искомое решение уравнения . Согласно методу вариации произвольных постоянных полагаем:

Система имеет единственное решение, так как ее определитель отличен от нуля:

.

Решив систему, найдем . Следовательно,

Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид .

В силу первого начального условия имеем , поэтому

В силу второго начального условия имеем .

Следовательно, искомое частное решение имеет вид: .

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Решение. Решая характеристическое уравнение , найдем его корни . Следовательно, . Таким образом, линейно независимые решения сопровождающего уравнения таковы: . Согласно методу вариации произвольных постоянных . Причем для уравнения третьего порядка имеет место система:

В нашем случае

Из системы определяем , , .

Следовательно,

;

;

.

Тогда , а общее решение данного уравнения имеет вид:

или , где .

Пример 4. Проинтегрировать уравнение

.

Решение. Для соответствующего однородного уравнения частные решения и ; их вронскиан .

Поэтому u(x) можно найти по формуле

Таким образом, , а общее решение данного уравнения имеет вид .

Примеры для самостоятельного решения

Задача 10

Найти частное решение уравнения.

10.1.

10.2.

10.3.

10.4.

10.5.

10.6.

10.7.

10.8.

10.9.

10.10.

10.11.

10.12.

10.13.

10.14.

10.15.

10.16.

10.17.

10.18.

10.19.

10.20.

10.21.

10.22.

10.23.

10.24.

10.25.

Методом вариации произвольных постоянных решить следующие уравнения:

10.26. .

10.27. .

10.28. .

10.29. .

10. Линейные неоднородные уравнения. Метод подбора частного решения

Этот метод применим только к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и только в том случае, когда его правая часть имеет следующий вид:

(или является суммой функций такого вида). Здесь α и β – постоянные, и - многочлены от x соответственно n-й и m-й степени.

Частное решение уравнения n-го порядка

(где f(x) имеет указанный вид, а , , …, - действительные постоянные коэффициенты) следует искать в виде

.

Здесь r равно показателю кратности корня α+βi в характеристическом уравнении (если характеристическое уравнение такого корня не имеет, то следует положить r=0); и - полные многочлены от x степени l с неопределенными коэффициентами, причем l равно наибольшему из чисел n и m (l=n≥m, или l=n≤m):

; .

Подчеркнем, что многочлены и должны быть полными (то есть содержать все степени x от нуля до l), с различными неопределенными коэффициентами при одних и тех же степенях x в обоих многочленах и что при этом, если в выражение функции f(x) входит хотя бы одна из функций cosβx или sinβx, в надо всегда вводить обе функции.

Неопределенные коэффициенты можно найти из системы линейных алгебраических уравнений, получаемых отождествлением коэффициентов подобных членов в правой и левой частях исходного уравнения после подстановки в него вместо y.

Проверку правильности выбранной формы частного решения дает сопоставление всех членов правой части уравнения с подобными им членами левой части, появившимися в ней после подстановки .

Если правая часть исходного уравнения равна сумме нескольких различных функций рассматриваемой структуры, то для отыскания частного решения такого уравнения нужно использовать теорему наложения решений: надо найти частные решения, соответствующие отдельным слагаемым правой части, и взять их сумму, которая и является частным решением исходного уравнения (то есть уравнения с суммой соответствующих функций в правой части).

Примечание. Частными случаями функции f(x) рассматриваемой структуры (при наличии которых в правой части уравнения применим метод подбора частного решения) являются следующие функции:

1) , A – постоянная {α+βi≡ α}.

2) , A и B – постоянные {α+βi≡ βi}.

3) (многочлен степени n) {α+βi≡0}.

4) {α+βi≡ α}.

5) {α+βi≡ βi}.

6) , A и B – постоянные.

Рассмотрим решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений для разных типов правых частей.