Примеры для самостоятельного решения
Задача 8.1
Найти общее решение дифференциального уравнения.
8.1.1.
8.1.2.
8.1.3.
8.1.4.
8.1.5.
8.1.6.
8.1.7.
8.1.8.
8.1.9.
8.1.10.
8.1.11.
8.1.12.
8.1.13.
8.1.14.
8.1.15.
8.1.16.
8.1.17.
8.1.18.
8.1.19.
8.1.20.
8.1.21.
8.1.22.
8.1.23.
8.1.24.
8.1.25.
8.1.26.
.
8.1.27.
.
8.1.28.
.
8.1.29.
.
б)
Уравнения вида
,
то есть уравнения, не содержащие явно
искомой функции и ее производных до
порядка k-1
включительно. С помощью замены
порядок уравнения понижается на k
единиц:
.
Предположим, что для полученного
уравнения мы можем найти общее решение
.
Тогда искомая функция y(x)
получается путем k-кратного
интегрирования функции
.
Решение типовых примеров
Пример
5. Найти частное решение уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
,
,
.
Решение.
Данное уравнение не содержит y
и y′.
Положим y″=p,
тогда
,
и уравнение принимает вид
,
или
.
Это линейное уравнение первого порядка.
Его общее решение
.
Используя начальное условие y″(1)=p(1)=-1,
получаем
.
Следовательно,
,
откуда
.
Начальное условие
позволяет определить
.
Интегрируя еще раз, получаем
,
а из условия
следует, что
.
Итак, искомое частное решение есть
.
Пример
6. Найти
решение задачи Коши
,
если
.
Решение.
Данное
уравнение – это уравнение, не содержащее
искомой функции. Для понижения порядка
дифференциального уравнения введем
новую неизвестную функцию p,
положив
.
Тогда
,
и исходное уравнение принимает вид
.
Последнее уравнение-это уравнение
первого порядка с разделяющими
переменными.
.
Возвращаясь
к первоначальной функции, получим
уравнение первого порядка
,
из которого следует
или
.
Подберем
и
таким образом, чтобы выполнялись
начальные условия. Так как
и
при
,
то
.
Итак,
искомое частное решение имеет вид
.
Примеры для самостоятельного решения
Задача 8.2
Найти решение задачи Коши.
8.2.1.
8.2.2.
8.2.3.
8.2.4.
8.2.5.
8.2.6.
2.2.7.
8.2.8.
8.2.9.
8.2.10.
8.2.11.
8.2.12.
8.2.13.
8.2.14.
8.2.15.
8.2.16.
8.2.17.
8.2.18.
8.2.19.
8.2.20.
8.2.21.
8.2.22.
8.2.23.
8.2.24.
8.2.25.
.
8.2.26.
.
8.2.27.
.
8.2.28.
.
8.2.29.
.
8.2.30.
.
8.2.31.
.
8.2.32.
.
8.2.33.
.
8.2.34.
.
8.2.35.
.
8.2.36.
.
в)
Уравнения вида
,
не содержащие явно независимой
переменной. Подстановкой y′=p(y),
,
и т.д. порядок уравнения понижается на
единицу.