8. Дифференциальные уравнения высших порядков

1. Основные понятия. Теорема Коши

Определение 1. Задачей Коши для дифференциального уравнения

(8.1)

называется задача отыскания решения y(x), удовлетворяющего заданным начальным условиям

, , …, . (8.2)

Определение 2. Общим решением уравнения (8.1) называется такая функция , которая при любых допустимых значениях параметров , …, является решением этого дифференциального уравнения и для любой задачи Коши с условиями (8.2) найдутся постоянные , , …, , определяемые из системы уравнений:

,

,

.

Определение 3. Уравнение

, (8.3)

определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если дифференциальное уравнение (8.1) таково, что функция в некоторой области D изменения своих аргументов непрерывна и имеет непрерывные частные производные , , …, , то для любой точки существует такой интервал , на котором существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (8.2).

8.2. Уравнения, допускающие понижение порядка

Ниже приводятся некоторые виды дифференциальных уравнений n-го порядка, допускающих понижение порядка.

а) Уравнение вида . Общее решение получается путем n-кратного интегрирования , где , или по формуле

.

Решение типовых примеров

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Положим ; тогда , а следовательно,

.

Интегрируя это уравнение, находим

.

Интегрируя второй раз, находим искомое общее решение:

.

Пример 2. Найти общее решение уравнения и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , .

Решение. Интегрируя первый раз, получаем . Повторное интегрирование дает . Это и есть общее решение. Подставив теперь в полученное общее решение и в выражение для первой производной и соответственно и y′=1, получим систему двух уравнений с неизвестными и . Решив эту систему, найдем значения параметров и , соответствующих искомому частному решению имеет вид .

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Данное уравнение является простейшим уравнением третьего порядка вида . Интегрируя его, найдем

Наконец,

.

Пример 4. Водитель трамвая, выключая постепенно реостат, увеличивает мощность вагонного двигателя так, что сила тяги возрастает на 1200 Н за каждую секунду. Найти уравнение движения трамвая, если вначале сила тяги была равной нулю. Сила тяжести вагона P=100 кН, сопротивление трения постоянно и равно 2000 Н; начальная скорость равна нулю; начало движения вагона не совпадает с моментом выключения реостата.

Решение. Будем считать, что центр тяжести вагона перемещается по горизонтальной прямой. Начало координат поместим в начальном положении центра тяжести вагона.

Проектируя внешние силы, приложенные к вагону, на ось абсцисс, получим два слагаемых: силу тяги, равную 1200t (t - время, прошедшее с момента включения реостата), и силу сопротивления, равную 2000 Н.

Согласно второму закону динамики дифференциальное уравнение движения вагона имеет вид

. (8.4)

Это дифференциальное уравнение вида . Так как начало движения не совпадает с моментом выключения реостата, то время , соответствующее началу движения, можно определить из условия равенства силы тяги и силы сопротивления:

с.

Для удобства вычислений положим

,

откуда

. (8.5)

Тогда уравнение (8.4) можно записать в виде

. (8.6)

Интегрируя дифференциальное уравнение (8.6), получаем

.

Подставляя начальные условия при , находим ; следовательно,

. (8.9)

Интегрируя уравнение (8.9), получим

. (8.10)

Так как x=0 при , то . Следовательно, уравнение движения вагона примет вид

,

или .