ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Р. Я. Кучумов, м. Р. Сорокина

Дифференциальные уравнения

В примерах и задачах

Учебное пособие

к лекционным и практическим занятиям по дисциплинам «Дифференциальные уравнения» для студентов специальности «Прикладная математика» и специализаций «Информационные системы и технологии в нефтегазовом деле», «Моделирование процессов разработки нефтяных и газовых месторождений» очной формы обучения.

Т юмень 2006

УДК 517.9

Кучумов Р.Я., Сорокина М.Р., Дифференциальные уравнения в примерах и задачах: Учебное пособие. – Тюмень: ТюмГНГУ, 2006. - 90 с.

Данное учебное пособие представляет собой попытку, обобщив известные литературные источники, изложить в систематизированном виде задачи по дифференциальным уравнениям, научить студентов применять дифференциальные уравнения для построения прикладных задач в различных областях науки и техники. В каждом параграфе даются краткие теоретические сведения и решения типовых задач. Разделы завершаются набором заданий для самостоятельного решения.

Предназначено для студентов, обучающихся на специальности «Прикладная математика», будет полезен студентам специализаций «Информационные системы и технологии в нефтегазовом деле», «Моделирование процессов разработки нефтяных и газовых месторождений», а также студентам инженерных специальностей.

Илл. 7, библиогр. 17 назв.

Рецензенты: Б.Г. Аксенов, д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой математики ТюмГАСУ; Н.Г. Мусакаев, к.ф.-м.н., доцент кафедры МиУ ТюмГНГУ

© Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Тюменский государственный нефтегазовый университет», 2006

1. Уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными

1. Основные определения

Определение 1. Функциональное уравнение

(1.1)

или

, (1.2)

связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию y(x) и ее производную y′(x), называется дифференциальным уравнением

1-го порядка.

Определение 2. Решением (частным решением) уравнения (1.1) или (1.2) на интервале (a,b) называется любая функция , которая, будучи подставлена в это уравнение вместе со своей производной φ′(x), обращает его в тождество относительно . Уравнение , определяющее это решение как неявную функцию, называется интегралом (частным интегралом) дифференциального уравнения. На плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат уравнение определяет некоторую кривую, которая называется интегральной кривой дифференциального уравнения.

Определение 3. Функция называется общим решением уравнения (1.1) или (1.2), если при любом допустимом значении параметра С она является частным решением этого уравнения и, кроме того, любое его частное решение может быть представлено в виде при некотором значении параметра C. Уравнение , определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.