3. Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную и обратно.

Двоичная система счисления – способ записи чисел с помощью цифр 1 и 0, которые являются коэффициентами при степени два.

Для того чтобы без затруднений представлять числа по степенному ряду, необходимо выучить наизусть таблицу степеней двойки (табл.1.2.).

Таблица 1.2.

Степени двойки	Полученное число
0	1
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
7	128
8	256
9	526
10	1024

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием Р>1 обычно используют следующий алгоритм:

1) если переводится целая часть числа, то она делится на Р, после чего запоми­нается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на Р, остаток запо­минается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не окажется меньше делителя. Остатки от деления на Р выписываются в порядке, обратном их получению;

Пример 1.

Перевести целое десятичное число 43 в двоичную систему счисления.

43 2

-42 21 2

1 20 10 2

1 10 5 2

0 4 2 2

1 2 1 – старший разряд в двоичной системе счисления

0

направление чтения

Следовательно: 43₍₁₀₎ = 101011₍₂₎

2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на Р, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умно­жается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после двоичной запятой в поряд­ке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая дво­ичная дробь. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью ис­ходного числа в системе с основанием Р.

При переводе смешанного числа из одной системы в другую целая и дробная части числа обрабатываются порознь по указанным выше правилам, а затем объединяются результаты в смешанное число в новой системе счисления.

Пример 2.

Перевести десятичную дробь 0,375 в двоичную систему счисления.

0,375

2

0,750

2

1,500

2

1000

0,375₍₁₀₎ – 0,011₍₂₎

При переводе чисел из системы счисления с основанием Р в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и дробной части, начиная с разряда сразу после запятой, слева направо (начальный номер — 1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих зна­чений разрядов на основании системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления.

Пример 3.

Перевести двоичное число 110110,1 в десятичную систему счисления:

110110,1₍₂₎ = 1*2⁵+1*2⁴+0*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰+1*2^-1 =32+16+4+2+0,5=54,5₍₁₀₎