ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ БАШКИРСКИЙ ГАУ

Кафедра математики

Дифференциальное исчисление методические указания

и варианты расчетно–графических работ

для подготовки бакалавра по направлениям

080100 Экономика

Экономика предприятий и организаций

Бухгалтерский учет, анализ и аудит

Финансы и кредит

Налоги и налогообложение

Уфа 2012

УДК 517.2

ББК 161.6

М 54

Методические указания

Обсуждены и одобрены на заседании кафедры математики

(протокол № от )

Заведующий кафедрой математики, к.ф.-м.н., доцент Лукманов Р.Л.

Рекомендовано к изданию методической комиссией механического факультета (протокол № от )

Председатель методической комиссии факультета к.пс.н., доцент Костенко Н.А.

Составители: к.ф.-м.н., доцент Кудашева Е.Г.,

к.ф.-м.н., доцент Чередникова Л.Ю.

Рецензент: к.эк.н., доцент Насырова А.Д.

Ответственный за выпуск: заведующий кафедрой математики,

к.ф.-м.н., доцент Лукманов Р.Л.

Введение

Залог успешного овладения курсом математики – активная самостоятельная работа студентов. Одна из форм активизации учебного процесса – система расчетно-графических работ (РГР). Основой системы данной работы является индивидуализация заданий. Данные методические указания предназначены для изучения раздела «Дифференциальное исчисление».

В методическом указании представлены задачи по темам: вычисление производной различных типов функций, нахождение пределов функций с помощью правила Лопиталя, геометрическое приложение производной. В настоящем сборнике представлены тридцать различных вариантов заданий. Варианты заданий выдаются преподавателем.

Определение производной. Дифференцирование функций

Пусть функция у = f (x) определена на промежутке . Аргументу дадим приращение , найдем соответствующее приращение функции .

Производной функции у = f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю:

.

Если предел конечный, то производная функции f (x) существует. Функция f, имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой. Производная обозначается также у' (x) или

Приведем основные правила дифференцирования функций.

Пусть С  R — постоянная, и = и (х), v = v(x) — функции, имеющие производные.

С ' =0 (Си)' =С ∙ u'

(u ± v)' = и' ± v' (u ∙ v)' =u' ∙ v + u ∙ v'

Дифференцирование сложной функции y = f (φ (x)). Если функция y = f (u) дифференцируема по и, а функция и = φ (x) — по х, то сложная функция

y = f (φ (x)) имеет производную y' =f ' (u) ∙ u' (x) .

Таблица производных основных элементарных функций

.

Производной второго порядка (второй производной) от функции называется производная от ее производной, т. е. .

Вторую производную также обозначают или . Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и т. д. Производную n-го порядка обозначают или .

Примеры. Используя правила дифференцирования и таблицу производных, найдем производные следующих функций:

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) , 7) .

Решение.1) Перепишем данную функцию, записав слагаемые в виде степени: .

Тогда .

2) Представим данную функцию в виде степени

.

3) Применив формулу дифференцирования произведения функций, находим:

.

4) Дифференцируем функцию как сложную

.

5) В соответствии с формулой дифференцирования частного получим

.

6) По аналогии с примером 3 находим:

.

7) Продифференцируем функцию как показательную

.

Выведем формулу для нахождения производной степенно–показательной функции , считая что и дифференцируемые функции и .

Логарифмируя равенство и дифференцируя обе части полученного равенства , находим:

.

Следовательно,

.

Таким образом .

Пример. , где х>0,

.