Лекція 4 Складність розв’язання систем рівнянь.

План

1. Метод Гауса і оцінка його складності.

2. LUR – розкладання матриць.

3. Метод І.В. Коновальцева і оцінка складності.

Метод Гауса і оцінка його складності.

Ми розглянемо алгоритми розв’язку систем лінійних рівнянь над полем , що складається з двох елементів.

Нехай система лінійних рівнянь над полем має вигляд:

Припустимо,

, ,

.

Тоді система, яку ми розглядаємо, приймає вигляд .

Метод Гауса.

Як відомо з курсу лінійної алгебри, даний метод базується на послідовному виключенні невідомих рівнянь із системи. У термінах матриць виключення невідомих еквівалентне виконанню операції додавання в полі рядків матриці . Наприклад, нехай перші два рівняння системи мають вигляд:

Виражаючи з першого рівняння ( операція + в полі ), і, підставляючи його в друге рівняння, отримуємо ,

Виключивши, таким чином, невідоме . Таке перетворення відповідає заміні в матриці

другого рядка на суму першого і другого.

Визначимо наступні елементарні операції перетворення над матрицями:

1. додавання одного рядку матриці до іншого;

2. перестановка рядків матриці;

3. перестановка стовпців.

Зауважимо, що за перестановки рядків матриці система рівнянь не зміниться, а за перестановки стовпців матриці станеться перенумерація невідомих.

Як відомо, метод Гауса полягає в наступному. На першому кроці матриця перетворюється на матрицю , у якої перший стовпчик співпадає з першим стовпчиком одиничної матриці. Для цього треба знайти рядок, у якому перший елемент рівний одиниці (якщо такого нема, слід переставити стовпчики і додати його до інших рядків, що містять одиницю в першому стовпці, на другому кроці виконується те ж перетворення над підматрицею матриці , отриманої видаленням першого рядка і першого стовпця. Продовжуючи цей процес, матрицю приводять до вигляду:

Тепер система рівнянь має ту ж множину роз’язків, що і початкова, можливо зі зміненим порядком нумерації змінних). Якщо деякі з елементів відмінні від нуля, то система лінійних рівнянь не має розв’язків. Якщо , то система має розв’язків. Для їх знаходження фіксують довільним чином змінні ( способів ), а потім знаходять значення змінної з -го рівняння, значення з ( )-го рівняння і т. д. Так знаходять усі рішення початкової системи рівнянь.

Зауважимо, що всі перетворення не змінюють рангу матриці. Матриця

має ранг , якщо має, принаймні, одну невироджену підматрицю порядку , а всі підматриці більш високих порядків вироджені. Квадратна матриця називається невиродженою або виродженою в залежності від того, чи відмінний її визначник від нуля чи рівний нулю.

Приклад:

Підрахуємо трудомісткість методу. На першому кроці виконується не більше операцій додавання, на другому – не більше і т.д. Отже, трудомісткість перетворення матриці до вигляду

оцінюється величиною

або інакше

При дана оцінка приймає вигляд

Нескладно показується, що для знаходження кожного з рішень потрібно не більше

операцій додавання. Таким чином, оскільки , загальна трудомісткість методу Гауса оцінюється величиною .

LUR - розкладання матриць.

Якщо доводиться вирішувати не одну систему лінійних рівнянь, а багато таких систем з однаковою лівою частиною і різними правими частинами, то використовують модифікацію методу Гауса.

Метод Гауса фактично полягає в приведенні матриці

за допомогою елементарних операцій до верхньотрикутного вигляду. Кожна з елементарних операцій еквівалентна множенню матриці на деяку матрицю

1) при збільшення -го рядка до - го здійснюється множенням зліва на матрицю =

розміру 

2) перестановка -го і -го рядків еквівалентна множенню зліва на матрицю

розміру .

3) перестановка і - го стовпця еквівалентна множенню справа на матрицю розміру .

Виділимо особливий випадок, коли можна обмежитися виконанням тільки елементарних операцій першого типа.

=

головний мінор матриці .

Справедливі наступні теореми.

Теорема 1.

Якщо весь головний мінор матриці відмінний від нуля, то досить використовувати тільки операції першого типа.

Теорема 2.

Для будь-якої матриці розміру з ненульовим головними мінорами знайдуться невироджені ніжнетрекутна матриця розміру і верхнетрекутна матриця розміру такі, що .

Теорема 3.

Невироджену матрицю розміру можна перестановкою тільки рядків

( або тільки стовпців ) перевести в матрицю, у якої весь головний мінор відмінний від нуля. Нагадаємо, що, якщо - визначник порядку , то мінором елементу називають визначник порядку , що виходить з викреслюванням -го рядка і - го стовпця.

Як наслідок із цих теорем можна одержати твердження всяку невироджену матрицю можна привести до вигляду , де - підстановлювальні матриці, а і , відповідно, нижні і верхні трикутні матриці. На підставі цього твердження доводиться, що розкладання матриці , вказане вище, знаходиться за операцій, а після того, як воно знайдене, рішення кожної системи ( з своєю правою частиною) знаходиться за операцій.

Метод І.В. Коновальцева.

Отже, завдання полягає в знаходженні рішення систем лінійних рівнянь

у разі, коли елементи матриці даної системи належать кінцевому полю з елементів. Алгоритм Коновальцева полягає в наступному.

Перші елементів -го рядку матриці назвемо кортежем .

Перебираючи послідовно рядки матриці , знаходять перший кортеж , відмінний від , і ставлять його на перше місце. У одержаній матриці порівнюють кортеж з кортежем . Якщо , то віднімають з другого рядка перший, після чого кортеж другого рядка стане нульовим. Якщо , то порівнюють з і поступають аналогічно попередньому. На останньому етапі порівнюють кортежі і і виконують відповідні операції. Відзначимо, що в одержаній матриці кортеж і серед кортежів немає рівних . Розглядають рядки 2,…, одержаної матриці, знаходять перший ненульовий кортеж, міняють його місцями з кортежем (переставляючи відповідні рядки ) і повторюють процедуру, описану вище. Якщо число різних ненульових кортежів дорівнює , то після кроків матриця системи лінійних рівнянь приймає вигляд

,

де матриця має рядків і стовпців. Алгоритмом Гауса приводять матрицю до верхньотрикутного вигляду. У разі, коли визначник матриці відмінний від нуля, одержана матриця приймає вигляд

.

Якщо ж на цьому етапі з'ясовується, що , то процес закінчується. Цей етап застосовується разів, де вибирається виходячи з умов

,

але

.

У результаті матриця приймає вигляд

.

Перетворення підматриці до трикутного вигляду здійснюється методом Гауса. У результаті матриця перетвориться в матрицю трикутного вигляду з одиничними елементами на головній діагоналі ( якщо ). Потім розв'язується система лінійних рівнянь з трикутною матрицею коефіцієнтів. Доведено, що число всіх операцій ( арифметичних і допоміжних) не перевершує величини

.

На закінчення зазначимо, що для рівнянь з невиродженою матрицею Штрассеном був запропонований алгоритм зі складністю операцій. Але пониження складності в ньому досягнуто завдяки використанню пам'яті ЕОМ.

Контрольні питання тазадачі

1. Оцінити складність методу Гауса розв'язання систем рівнянь.

2. Наведить сутність LUR – розкладання матриць

3. Поясніть метод І.В. Коновальцева розв'язання систем рівнянь та оцінити його складність.

4. Порівняйте складності відомих методів розвязання систем рівнянь.