Список сокращений и обозначений

N	–	номер варианта
АМ	–	автоматический мост
АП	–	автоматический потенциометр
ИПС	–	стабилизированный источник питания
МЭ	–	магнитоэлектрический прибор
НСХ	–	номинальная статическая характеристика
НЭ	–	нормальный элемент
ОК	–	объект контроля
РД	–	реверсивный двигатель
СЛ	–	соединительная линия
ТПП	–	термопреобразователь платинородий-платиновый
ТСП	–	термопреобразователь сопротивления
ТХА	–	термопреобразователь хромель-алюмелевый
ТХК	–	термопреобразователь хромель-капелевый
ТЭП	–	термоэлектрический преобразователь
У	–	усилитель
ЧЭ	–	чувствительный элемент
ЭМ	–	электромагнитный прибор

1. Задачи по измерению электрических величин, выбору электроизмерительных приборов и оценке их динамических характеристик

Задача 1.1. Определите показания приборов магнитоэлектрической и электромагнитной систем, включенных в схемы рис. 1.1, при следующих исходных данных: ; ; ; (четные варианты) и (нечетные варианты), (четные варианты) и (нечетные варианты), а мгновенное напряжение источника питания

a)	б)
в)	г)

Рис. 1.1. Схемы включения амперметров и вольтметров

Верхний индекс в обозначении сопротивлений – номер гармоники. Внутренние сопротивления амперметра и вольтметра считайте соответственно равными и .

Указания к решению задачи. Рассмотрим пример расчета схемы, показанной на рис. 1.1, г, при следующих данных: , и , соответственно равных , и , и мгновенном напряжении источника питания . Сопротивления указанных элементов схемы при частоте будут соответственно равны: , и . Проведем эквивалентную замену источника несинусоидального напряжения двумя источниками: источником постоянного напряжения и источником напряжения третьей гармоники (см. рис. 1.2). При этом схема 1.1, г может быть представлена в виде цепей постоянного тока (рис. 1.2, а) и переменного тока (рис. 1.2, б).

a)	б)

Рис. 1.2. Эквивалентная замена схемы, показанной на рис. 1.1, г

Расчет схемы по принципу суперпозиции сводится к определению токов и напряжений этих двух частных схем.

Показания магнитоэлектрических вольтметра и амперметра (рис. 1.2, а) соответственно равны и . Эквивалентное сопротивление колебательного контура на рис. 1.2, б равно (контур в резонансе), т.е. ток 3-й гармоники через амперметр не протекает. В этом случае вольтметр электромагнитной системы покажет действующее значение напряжения . Таким образом, приборы, включенные в схему (рис. 1.1, г), покажут:

– магнитоэлектрический амперметр – ;

– электромагнитный амперметр – ;

– магнитоэлектрический вольтметр – ;

– электромагнитный вольтметр – .

В табл. 1.1 приведены исходные значения сопротивлений в омах для схем, показанных на рис. 1.1, а – г. Чётным вариантам соответствует верхняя строка, а нечётным – нижняя. Результаты расчетов каждой из четырёх схем сведены в табл. 1.2. Для схемы рис. 1.1, а показания амперметра и вольтметра магнитоэлектрической системы для всех вариантов расчёта соответственно равны и . Для схем рис. 1.1, б – г показания магнитоэлектрического вольтметра для всех вариантов равны .

Таблица 1.1

4	6	12	27	2	4	18	17
4	6	10	22,5	2	4	15	14

В табл. 1.2 (в графах 2, 4 – 12) показания амперметров и вольтметров округлены до сотых долей соответственно ампера и вольта, а в графе 3 – до десятых долей вольта.

Таблица 1.2
N	а		б			в			г
	ЭМ		МЭ	ЭМ		МЭ	ЭМ		МЭ	ЭМ
	A	V	A	A	V	A	A	V	A	A	V

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	0,41	13,9	4,29	7,20	83,1	4,29	5,19	9,17	2,14	2,36	15,2
2	0,51	13,9	4,09	6,89	66,5	4,09	5,03	9,18	2,05	2,36	15,2
3	0,44	13,7	3,91	6,64	77,0	3,91	4,89	9,19	1,96	2,19	15,2
4	0,54	13,6	3,75	6,37	61,8	3,75	4,76	9,20	1,88	2,22	15,2
5	0,47	13,5	3,60	6,17	71,7	3,60	4,64	9,22	1,80	2,05	15,2
6	0,58	13,4	3,46	5,93	57,8	3,46	4,54	9,23	1,73	2,09	15,1
7	0,50	13,3	3,33	5,75	67,1	3,33	4,44	9,25	1,67	1,94	15,2
8	0,61	13,2	3,21	5,54	54,2	3,21	4,36	9,26	1,61	1,99	15,1
9	0,52	13,0	3,10	5,40	63,0	3,10	4,27	9,28	1,55	1,84	15,1
10	0,65	13,0	3,00	5,21	51,1	3,00	4,21	9,29	1,50	1,90	15,1
11	0,55	12,8	2,90	5,08	59,4	2,90	4,13	9,31	1,45	1,75	15,1
12	0,68	12,8	2,81	4,91	48,3	2,81	4,08	9,33	1,41	1,83	15,1
13	0,57	12,6	2,73	4,80	56,1	2,73	4,01	9,34	1,36	1,68	15,1
14	0,71	12,5	2,65	4,65	45,8	2,65	3,98	9,36	1,32	1,76	15,0
15	0,60	12,4	2,57	4,55	53,2	2,57	3,91	9,38	1,29	1,62	15,1
16	0,73	12,3	2,50	4,41	43,6	2,50	3,89	9,40	1,25	1,71	15,0
17	0,62	12,1	2,43	4,33	50,6	2,43	3,82	9,42	1,22	1,56	15,1
18	0,76	12,1	2,37	4,20	41,6	2,37	3,81	9,44	1,18	1,66	15,0
19	0,64	11,9	2,31	4,12	48,3	2,31	3,75	9,46	1,15	1,51	15,0
20	0,79	11,9	2,25	4,01	39,8	2,25	3,74	9,48	1,13	1,61	14,9
21	0,66	11,7	2,20	3,94	46,1	2,20	3,69	9,50	1,10	1,47	15,0
22	0,81	11,7	2,14	3,83	38,1	2,14	3,69	9,52	1,07	1,57	14,9
23	0,68	11,5	2,09	3,77	44,2	2,09	3,63	9,55	1,05	1,43	15,0
24	0,83	11,5	2,05	3,67	36,6	2,05	3,64	9,57	1,02	1,54	14,9
25	0,70	11,3	2,00	3,62	42,4	2,00	3,59	9,59	1,00	1,39	15,0
26	0,86	11,3	1,96	3,52	35,2	1,96	3,60	9,62	0,98	1,50	14,8
27	0,72	11,1	1,91	3,48	40,7	1,91	3,54	9,64	0,96	1,36	14,9
28	0,88	11,1	1,88	3,39	33,9	1,88	3,57	9,67	0,94	1,47	14,8
29	0,74	10,9	1,84	3,35	39,2	1,84	3,51	9,69	0,92	1,33	14,9
30	0,90	10,9	1,80	3,26	32,7	1,80	3,54	9,72	0,90	1,45	14,8

Продолжение табл. 1.2

должение табл. 1.2

Задача 1.2. Рассчитайте и постойте, не менее, чем по 7 точкам, переходные характеристики магнитоэлектрического прибора, включаемого в измерительную цепь, если известно, что момент инерции его подвижной системы удельный противодействующий момент индукция в воздушном зазоре, где перемещается рамка, каркас рамки выполнен из алюминиевой ленты с площадью сечения ; удельное сопротивление алюминия примите равным средний периметр каркаса отношение сторон рамки равно 1,5; число ее витков а полное сопротивление цепи , в которую включен прибор, равно: 1200 и (для вариантов 1 – 12), и (для вариантов 13 – 24). Определите сопротивление , при котором обеспечивается критический режим работы прибора, рассчитайте и постройте переходную характеристику для этого режима. Проанализируйте результаты расчета и сделайте выводы по работе.

Указания к решению задачи. Часто динамические свойства устройств, входящих в системы регулирования, описываются дифференциальными уравнениями второго и более высокого порядка. Рассмотрим, например, движение подвижной части измерительного механизма магнитоэлектрического гальванометра или пирометрического милливольтметра при включении его в измерительную цепь [4, 6, 9 – 13].

Известно, что при вращении твердого тела вокруг оси произведение момента инерции на угловое ускорение равно сумме всех моментов сил действующих на тело, относительно той же оси, т.е.

(1.1)

где – угол поворота рамки прибора; – текущее время.

На подвижную часть измерительного механизма при ее движении действуют вращающий и противодействующий моменты, а также момент сил сопротивления движению или момент успокоения .

Указанные моменты соответственно равны:

где – индукция в воздушном зазоре между сердечником и полюсными наконечниками магнитной системы измерительного механизма; и – площадь и число витков рамки прибора; – ток в рамке; – удельный противодействующий момент; – коэффициент успокоения.

Момент успокоения состоит из следующих частей:

– момента трения подвижной части о воздух;

– момента от токов, индуктированных в витках рамки, если она замкнута на внешнюю цепь с каким-либо сопротивлением;

– момента от токов, индуктированных в металлическом каркасе рамки, если он имеется.

Первая составляющая обычно весьма мала (ею, как правило, пренебрегают), а главное значение имеют вторая и третья составляющие общего момента успокоения.

При движении рамки в магнитном поле с индукцией в ней индуктируется ЭДС

где Ф – магнитный поток, пронизывающий рамку.

Под действием ЭДС в рамке появляется ток

где и – соответственно сопротивления рамки и внешней цепи относительно клемм прибора (сумма этих сопротивлений обозначена ).

Ток взаимодействует с полем постоянного магнита. При этом возникает момент

У некоторых типов приборов успокоение, создаваемое током , оказывается недостаточным и тогда в конструкции предусматривается каркас, на который наматывается рамка. Каркас обычно изготавливается из тонкой алюминиевой ленты и представляет собой короткозамкнутый виток малого сопротивления . В этом случае момент успокоения будет иметь вид:

Следовательно, общий коэффициент успокоения

Следует обратить внимание, что первый член суммы, стоящей в правой части равенства, зависит от сопротивления внешней цепи прибора, т.е. изменение параметров этой цепи изменяет величину коэффициента успокоения и тем самым влияет на режим движения подвижной части измерительного механизма прибора.

Подставляя в (1.1) все рассмотренные моменты с учетом их направления, получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

(1.2)

Интеграл этого уравнения, как известно, состоит из двух слагаемых

где – установившееся отклонение подвижной части, представляющее собой частное решение уравнения (1.2); – общее решение данного уравнения, характеризующее свободный режим движения подвижной части измерительного механизма прибора относительно .

При установившемся отклонении, т.е. когда и , получим известное уравнение шкалы магнитоэлектрического прибора

или

(1.3)

где – чувствительность прибора по току.

Для нахождения общего решения уравнения (1.2) запишем его в виде:

Решением его является функция

(1.4)

где и – постоянные интегрирования, получаемые из начальных условий; и – корни характеристического уравнения , равные

Непосредственная подстановка этих корней в (1.4) приводят к сложному выражению. Поэтому введем вспомогательные параметры:

где – собственная частота свободных колебаний подвижной части; – степень успокоения, зависящая (при неизменных конструктивных параметрах прибора и ) только от коэффициента успокоения .

Теперь корни уравнения будут:

.

В зависимости от значения возможны три характерных случая:

– корни мнимые и разные – движение подвижной части прибора имеет колебательный характер;

– оба корня вещественные и разные – движение подвижной части носит апериодический характер;

– оба корня вещественные и равные, что соответствует граничному случаю апериодического движения подвижной части (она приходит в положение установившегося равновесия без колебаний за минимальное время).

Следовательно, решение уравнения (1.2) с учетом (1.3) и (1.4) для различных значений приводит к следующим выражениям:

1) для

(1.5)

2) для

(1.6)

3) для

(1.7)

На рис. 1.3 показаны переходные характеристики , иллюстрирующие движение подвижной части прибора к положению равновесия в соответствии с тремя приведенными выше решениями дифференциального уравнения (1.2). Если обе части (1.5), (1.6) и (1.7) разделить на , то ординаты кривых, показанных на рис. 1.3, будут выражены в относительных единицах.

Таким образом, если в момент времени на вход гальванометра подается сигнал в виде скачка тока , то, используя уравнения (1.5) – (1.7), можно проанализировать переходные процессы в приборе, динамические свойства которого соответствуют звену второго порядка.

Рис. 1.3. Переходные характеристики прибора при различных значениях

При таком анализе следует учитывать следующее. Функция (1.5) пересекает прямую в точках a, c и е в моменты времени

; ; ,

а значения , и вычисляются по соотношениям:

; ; .

(1.8)

Следовательно, период колебаний при равен

Когда , что имеет место при разомкнутой рамке гальванометра , период колебаний равен

или

и называется периодом свободных колебаний.

Практически колебания подвижной части гальванометра даже при будут постепенно, хотя и медленно, затухать из-за трения рамки о воздух. При рамка совершает затухающее колебательное движение около положения установившегося равновесия .

Характерным является режим при , который называется критическим. Коэффициент успокоения в этом случае

Сопротивление внешней цепи , соответствующее критическому режиму, называют внешним критическим сопротивлением, а сумму – полным критическим сопротивлением прибора

(1.9)

Как следует из последнего равенства, полное критическое сопротивление определяется только конструктивными параметрами прибора. Зная и сопротивление , можно найти такое сопротивление внешней цепи , при котором обеспечивается критический режим работы гальванометра (милливольтметра)

Рассмотрим пример расчета при следующих исходных данных: площадь сечения стенки каркаса ; длина каркаса удельное электрическое сопротивление материала каркаса равно и (где и – стороны рамки).

Определим, прежде всего, сопротивление каркаса, на который намотана рамка, по формуле . В нашем случае Коэффициенты успокоения и , создаваемые, соответственно, каркасом и витками рамки, найдем, определив площадь рамки Тогда, а для двух указанных значений сопротивлений соответственно равен и Таким образом, в зависимости от сопротивления гальванометр будет иметь два значения степени успокоения, а следовательно, и два режима движения своей подвижной части:

– при коэффициент ;

– при коэффициент .

Определим по формуле (1.9) сопротивление цепи, при котором . Оно равно . Рассмотрим сначала апериодический режим движения подвижной части гальванометра при . Так как , то в соответствии с формулой (1.7) имеем

Задавая ряд значений , для каждого из них найдем величину . Результаты расчета сведены в табл. 1.3 и графически представлены на рис. 1.4 (кривая 1).

Таблица 1.3
	0	0,3	0,6	0,9	1,2	1,5	1,8	2,1
	0	0,175	0,381	0,539	0,656	0,744	0,809	0,858	1

Переходная характеристика при критическом режиме работы прибора вычисляется по формуле Для рассматриваемого примера ее аналитическое выражение имеет сравнительно простой вид:

Результат расчета при представлены в табл. 1.4 и на рис. 1.4 (кривая 2).

Рис. 1.4. Переходные характеристики прибора

Таблица 1.4
	0	0,3	0,6	0,9	1,2	1,5	1,8	2,1
	0	0,259	0,587	0,795	0,905	0,957	0,981	0,992	1

При режим работы гальванометра – колебательный. Переходная характеристика в этом случае имеет вид

и практически совпадает с переходной характеристикой, полученной при . Амплитуда колебаний в рассматриваемом случае весьма мала, а период колебаний – значительный ( ).

Определим по формулам значения и , при которых подвижная часть измерительного механизма проходит через два последовательных максимума отклонений: и соответственно равны и

Ответы по 24 вариантам задачи сведены в табл. 1.5 – 1.9. В табл. 1.7 приведены значения переходной характеристики для апериодического режима работы прибора при . В табл. 1.8 даны значения переходной характеристики прибора для другого апериодического режима работы, соответствующего . В табл. 1.9 указаны параметры колебательного режима (при ).

Таблица 1.5
N	Ом	м2		при и
			Н×м×с/рад

1	2	3	4	5	6	7
1	5,258	2,948	1,687	3,259	1,690	0,457
2	5,265	2,957	1,728	3,669	1,731	0,460
3	5,273	2,965	1,769	4,112	1,773	0,464
4	5,280	2,974	1,811	4,591	1,816	0,467
5	5,288	2,982	1,854	5,107	1,859	0,471
6	5,295	2,991	1,898	5,661	1,904	0,474
7	5,303	2,999	1,942	6,256	1,948	0,478
8	5,310	3,008	1,987	6,893	1,994	0,482
9	5,318	3,016	2,033	7,575	2,040	0,485
10	5,325	3,025	2,079	8,302	2,087	0,489
11	5,333	3,033	2,126	9,078	2,135	0,493
12	5,340	3,042	2,173	9,903	2,183	0,497
13	5,348	3,050	2,222	9,241	2,231	0,501
14	5,355	3,059	2,271	10,04	2,281	0,505
15	5,363	3,067	2,320	10,89	2,331	0,509
16	5,370	3,076	2,371	11,79	2,383	0,513
17	5,378	3,085	2,422	12,74	2,435	0,517
18	5,385	3,093	2,474	13,74	2,488	0,521
19	5,393	3,102	2,527	14,80	2,541	0,526
20	5,400	3,110	2,580	15,92	2,596	0,530
21	5,408	3,119	2,634	17,10	2,651	0,534
22	5,415	3,128	2,689	18,35	2,707	0,539
23	5,423	3,136	2,745	19,66	2,764	0,543
24	5,430	3,145	2,801	21,03	2,822	0,548

Продолжение табл. 1.5

должение табл. 1.2

Таблица 1.6
N	при и			, Ом	с–1
	Н×м×с/рад

1		2,607		4,294		1,162		1,946		3,030
2		2,935		4,663		1,240		2,166		3,032
3		3,290		5,059		1,323		2,403		3,034
4		3,673		5,484		1,411		2,655		3,036
5		4,085		5,940		1,504		2,925		3,038
6		4,529		6,427		1,601		3,212		3,040
7		5,005		6,947		1,704		3,518		3,042
8		5,515		7,501		1,812		3,843		3,044
9		6,060		8,092		1,925		4,188		3,046
10		6,642		8,720		2,044		4,554		3,047
11		7,262		9,388		2,168		4,943		3,049
12		7,923		10,10		2,298		5,354		3,051
13		5,175		7,397		1,660		5,790		3,052
14		5,622		7,893		1,747		6,251		3,054
15		6,097		8,417		1,837		6,738		3,055
16		6,600		8,971		1,931		7,252		3,056
17		7,132		9,554		2,029		7,796		3,058
18		7,695		10,17		2,131		8,369		3,059
19		8,289		10,82		2,237		8,974		3,061
20		8,916		11,50		2,347		9,612		3,062
21		9,577		12,21		2,461		10,284		3,063
22		10,27		12,96		2,579		10,992		3,064
23		11,01		13,75		2,702		11,738		3,066
24		11,78		14,58		2,830		12,523		3,067
Таблица 1.7
N
	0		0,5		1	2	3		4		¥

1	0	0,409	0,739	0,953	0,992	0,999	1
2		0,393	0,711	0,938	0,987	0,997
3		0,378	0,684	0,921	0,980	0,995
4		0,362	0,658	0,903	0,973	0,992
5		0,347	0,632	0,884	0,964	0,989
6		0,333	0,607	0,865	0,953	0,984
7		0,319	0,583	0,845	0,942	0,978
8		0,305	0,560	0,824	0,930	0,972
9		0,292	0,538	0,803	0,916	0,964
10		0,279	0,516	0,782	0,902	0,956
11		0,267	0,495	0,760	0,886	0,946
12		0,256	0,475	0,739	0,870	0,935
13		0,326	0,595	0,854	0,948	0,981
14		0,314	0,575	0,838	0,938	0,976
15		0,303	0,556	0,820	0,927	0,971
16		0,292	0,538	0,803	0,916	0,964
17		0,282	0,520	0,786	0,904	0,957
18		0,272	0,503	0,768	0,892	0,950
19		0,262	0,486	0,750	0,879	0,941
20		0,253	0,469	0,733	0,865	0,932
21		0,244	0,454	0,715	0,851	0,922
22		0,235	0,438	0,697	0,837	0,912
23		0,226	0,423	0,680	0,822	0,901
24		0,218	0,409	0,662	0,807	0,890

Таблица 1.8
N
	0	0,3	0,5	1	1,5	2

1	2	3	4	5	6	7	8
1	0	0,231	0,447	0,805	0,941	0,984	1
2	0	0,231	0,448	0,806	0,941	0,984	1
3		0,231	0,448	0,806	0,941	0,984
4		0,231	0,448	0,806	0,942	0,984
5		0,232	0,449	0,806	0,942	0,984
6		0,232	0,449	0,807	0,942	0,984
7		0,232	0,449	0,807	0,942	0,984
8		0,232	0,449	0,807	0,942	0,984
9		0,233	0,450	0,808	0,942	0,984
10		0,233	0,450	0,808	0,942	0,984
11		0,233	0,450	0,808	0,942	0,984
12		0,233	0,451	0,808	0,943	0,984
13		0,233	0,451	0,808	0,943	0,984
14		0,233	0,451	0,809	0,943	0,984
15		0,234	0,451	0,809	0,943	0,984
16		0,234	0,452	0,809	0,943	0,984
17		0,234	0,452	0,809	0,943	0,984
18		0,234	0,452	0,810	0,943	0,984
19		0,234	0,452	0,810	0,943	0,984
20		0,234	0,452	0,810	0,943	0,984
21		0,234	0,453	0,810	0,943	0,984
22		0,235	0,453	0,810	0,944	0,984
23		0,235	0,453	0,810	0,944	0,984
24		0,235	0,453	0,811	0,944	0,985

Продолжение табл. 1.8

должение табл. 1.2

Таблица 1.9
N
	с							отн. ед.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	0	0,76	1,17	1,92	2,33	3,09	3,50	1,199	0,960	1,008
2		0,76	1,17	1,93	2,33	3,10	3,50	1,196	0,962	1,008
3		0,76	1,17	1,93	2,34	3,10	3,51	1,193	0,963	1,007
4		0,77	1,17	1,94	2,34	3,11	3,51	1,190	0,964	1,007
5	0	0,77	1,17	1,94	2,34	3,11	3,52	1,187	0,965	1,007
6		0,77	1,17	1,95	2,35	3,12	3,52	1,184	0,966	1,006
7		0,77	1,18	1,95	2,35	3,13	3,53	1,181	0,967	1,006
8		0,78	1,18	1,96	2,36	3,13	3,53	1,178	0,968	1,006
9		0,78	1,18	1,96	2,36	3,14	3,54	1,175	0,969	1,005
10		0,78	1,18	1,97	2,36	3,15	3,55	1,172	0,971	1,005
11		0,79	1,18	1,97	2,37	3,16	3,55	1,169	0,972	1,005
12		0,79	1,19	1,98	2,37	3,16	3,56	1,165	0,973	1,005
13		0,79	1,19	1,98	2,38	3,17	3,57	1,163	0,974	1,004
14		0,80	1,19	1,99	2,38	3,18	3,58	1,159	0,975	1,004
15		0,80	1,19	1,99	2,39	3,19	3,58	1,156	0,976	1,004
16		0,80	1,20	2,00	2,39	3,20	3,59	1,153	0,977	1,004
17		0,81	1,20	2,01	2,40	3,21	3,60	1,150	0,978	1,003
18		0,81	1,20	2,01	2,41	3,22	3,61	1,147	0,978	1,003
19		0,82	1,21	2,02	2,41	3,23	3,62	1,144	0,979	1,003
20		0,82	1,21	2,03	2,42	3,24	3,63	1,140	0,980	1,003
21		0,82	1,21	2,04	2,43	3,25	3,64	1,137	0,981	1,003
22		0,83	1,22	2,05	2,43	3,26	3,65	1,134	0,982	1,002
23		0,83	1,22	2,05	2,44	3,27	3,66	1,131	0,983	1,002
24		0,84	1,22	2,06	2,45	3,29	3,67	1,128	0,984	1,002

Продолжение табл. 1.9

должение табл. 1.2

К звеньям и объектам систем контроля и регулирования, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка, кроме рассмотренного гальванометра или магнитоэлектрического милливольтметра, относится широкий класс приборов и технологических аппаратов. Примерами могут служить приборы, имеющие механическую систему, состоящую из пружины и гидравлического демпфера; термометры, содержащие многоэлементные первичные термопреобразователи; технологические объекты, в состав которых входят два последовательно соединенных резервуара и многие другие элементы и аппараты.