3 . Параболический тип

Пусть в уравнении Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0 А ≠ 0, С = 0, тогда оно примет вид

Ax² + Dx + Ey + F = 0.

Можно считать, что A > 0.

Дополнив члены, содержащие x² и х, до полного квадрата, получим

A(x – x₀)² + Ey = F₁.

Если E ≠ 0, то уравнение можно записать в виде y – y₀ = a(x – x₀)². Этому уравнению соответствует парабола с осью симметрии, параллельной оси Оу.

Перейдя к новой системе координат, уравнение (5) примет вид: или , где , р – параметр параболы. Координаты фокуса F будут (0; ). Уравнение директрисы .вершина .

Парабола не имеет асимптот. Эксцентриситет параболы равен 1 и не влияет на форму кривой.

Построение параболы.

Построим часть параболы, расположенной в верхней полуплоскости, которая выражается уравнением . При р>0 : если , то для у получаем мнимые значения. Парабола расположена вверх от оси Ох, т.е. в положительном направлении оси Оу. у изменяется от 0 до + , х также изменяется от 0 до + . Левая часть параболы получается путем зеркального отображения правой части относительно Оу.

Если Е = 0 и F₁ > 0, то уравнение A(x – x₀)² = =F₁ равносильно уравнениям

, которые определяют пару параллельных прямых.

Если Е = 0 и F₁ < 0, то получим также уравнение A(x – x₀)² = F₁, которому соответствует пустое множество.

Если Е = 0 и F₁ = 0, то A(x – x₀)² = 0. Оно определяет пару совпадающих прямых x – x₀ = 0.

Если предположить, что А ≠ 0, С = 0, то уравнение (1) будет иметь вид:

Cy² + Dx + Ey + F = 0.

Аналогично предыдущему можно показать, что при D = 0 это уравнение определяет параболу с осью симметрии, параллельной оси Ох, и может быть приведено к виду x – x₀ = а(y – y₀)².