Построение эллипса.
Чтобы
построить эллипс по его каноническому
уравнению, выберем декартову прямоугольную
систему координат. Построим в ней
основной прямоугольник эллипса со
сторонами, равными 2а и 2b.
Для построения эллипса достаточно
построить часть эллипса расположенной
в одном из квадрантов, например в первом.
Решив уравнение относительно переменной
y, получим:
.
Для
первого квадранта y
надо взять со знаком +:
.
Если
= 0, то
= b. При возрастании
от 0 до а
убывает от b до
0. При
> a
принимает мнимые значения, поэтому
любая точка, абсцисса которой
> a не принадлежит эллипсу.
В первом квадранте частью эллипса будет дуга АВ. Если произвести зеркальное отображение этой дуги относительно осей координат, то получим весь эллипс, который будет иметь вид выпуклого овала.
Если F1 < 0, то уравнению (2) соответствует пустое множество.
Если F1 = 0, то уравнение (2) принимает вид A(x – x0)2 + C(y – y0)2 = 0
и определяет точку М(х0, у0).
При
А = С эллипс превращается в окружность:
(x – x0)2
+ (y – y0)2
= R2, где
.
2. Гиперболический тип
Как и в первом случае, уравнение (1) можно привести к виду (2).
Если F1 > 0, то уравнение (2) можно записать в виде
.
(4)
Перейдя
к новой системе координат, уравнение
(4) примет вид:
Это уравнение определяет гиперболу. Вершинами гиперболы будут только две точки, лежащие на оси Ox: А1(а; 0) и А2(-а; 0).
Отрезок
А2А1 = 2а,
соединяющий вершины гиперболы, называется
действительной осью гиперболы, а отрезок
- действительной полуосью. Отрезок B2B1
= 2b называется
мнимой осью гиперболы, а отрезок
- мнимой полуосью. Прямоугольник, центром
которого является начало координат, а
стороны его параллельны осям гиперболы
и равны 2a и 2b,
называются основным прямоугольником
гиперболы. Прямые
являются асимптотами гиперболы.
Для гиперболы, действительная ось
которой 2a,
координаты фокусов F1
и F2 будут
(с; 0) и (-с; 0) полуфокусное
расстояние
.
Эксцентриситетом гиперболы называется
отношение расстояния между фокусами
к длине действительной оси:
Так как c
> а, то для
любой гиперболы ε >
1. Если же 1
< ε<
,
то b<a.
если
ε>
,
то b
> a.
Эксцентриситет равносторонней гиперболы
ε=
.
Эксцентриситет прежде всего характеризует основной прямоугольник, а вместе с ним и гиперболу.
Построение гиперболы
Чтобы построить
гиперболу по ее каноническому уравнению,
выберем декартову прямоугольную систему
координат. Построим в ней основной
прямоугольник гиперболы со сторонами,
равными 2а
и 2b.
проведем диагонали этого прямоугольника
и продолжим их – полученные прямые
будут асимптотами гиперболы. Теперь
построим фокусы. Из точки О
проведем окружность радиусом r
= c
=
,
равным половине диагонали основного
прямоугольника. Точки пересечения
окружности с осью Ох
будут фокусами гиперболы.
Д
алее
строим часть гиперболы в каком-либо
квадранте, например в первом. Для этого
дадим несколько значений х
и определим по формуле
соответствующие значения у.
Построив найденные точки и соединив
их плавной линией, получим половину
правой ветви гиперболы. Если произвести
зеркальное отображение относительно
осей координат, то будем иметь всю
гиперболу, состоящую из двух ветвей и
расположенную между асимптотами и вне
полосы х = а
и х = -а.
Гипербола
имеет действительную ось, равную 2b,
и мнимую, равную 2а.
Вершины и фокусы этой гиперболы лежат
на оси Оу.
Гиперболы
и
называются сопряженными, у них одинаковые
основные прямоугольники и поэтому
общие асимптоты.
Если F1 = 0, то уравнение (2) принимает вид A(x – x0)2 + C(y – y0)2 = 0. Ему соответствует пара пересекающихся прямых.
Введем обозначения: A = m2, C = -n2 и запишем уравнение в виде:
m2(x – x0)2 - n2(y – y0)2 = 0 или
(m(x – x0) - n(y – y0))(m(x – x0) + n(y – y0)) = 0.
Это уравнение равносильно следующим двум:
m(x – x0) - n(y – y0) = 0,
m(x – x0) + n(y – y0) = 0,
каждое из которых определяет прямую, проходящую через точку М(х0, у0).