9

Лекция №5 ММвХТ 22 ноябр 12

Решение алгебраических уравнений в sMath Studio

Цель работы: с помощью средств SMath Studio научиться находить графические, аналитические, численные решения алгебраических уравнений.

Порядок выполнения работы

1. Найти все корни уравнения n-й степени графически.

2. Найти все корни уравнения n-й степени аналитически.

3. Сделать проверку полученного решения.

4. Найти все корни уравнения n-й степени численно.

5. Сделать проверку полученного решения.

Введение

При решении задач химической технологии во многих случаях прихо­дится сталкиваться с проблемой нахождения значения неизвестной пере­менной, входящей в состав некоторого уравнения. Например, при расчете температуры кипения любой чистой жидкости можно воспользоваться урав­нением Антуана [1]:

lп Р=А - В/(t+C+273.15), (1)

где Р - давление, мм.рт.ст; А. В. С- константы уравнения Антуана (для различных веществ берутся по справочнику); t - температура кипения чистой жидкости, °С.

Для того, чтобы можно было рассчитать температуру кипения t необ­ходимо данную переменную выразить из уравнения (1) в явном виде, т.е. преобразовать уравнение так, чтобы величина t переместилась в левую часть уравнения (левее знака равенства), а все остальное - в правую:

t=B/(A-ln P)-C -273.15. (2)

Подставляя в полученное уравнение (2) данные из справочника можно рассчитать температуру кипения чистого жидкого вещества при любом давлении.

Вышеприведенное решение называется аналитическим, так как потребовало выполнения некоторого аналитического преобразования исходного уравнения. Однако, уравнение (1) могло быть решено путем последовательного подбора такой температуры t, при которой правая и левая части уравнения стали бы примерно равны друг другу. Такой подход к решению задачи называется численным, а метод, по которому происходит подборка значения переменной t- численным методом.

Численные методы, в отличие от аналитических решений, требуют многократного выполнения одного и того же заранее заданного алгоритма. Именно поэтому в большинстве случаев они реализуются с помощью специальных математических пакетов MathCad, SMath Studio и других.

При помощи численных методов можно решить задачи, трудно ре­шаемые аналитическим преобразованием. Например, для нахождения тем­пературы кипения жидкой смеси, состоящей из двух компонентов, можно воспользоваться следующим уравнением:

Р = ехр(A₁ - B₁/(t+C₁+273.15)) x₁ + ехр(A₂ – B₂/(t + C₁ + 273.15)) x₂, (3)

где x₁- и x₂ - мольные доли компонентов в смеси.

Выразить переменную t из уравнения (3) в явном виде сложно. Од­нако решение может быть легко получено при помощи численных методов.

В общем случае нелинейное алгебраическое уравнение можно записать в виде:

F(x) = 0, (4)

где функция F(x) определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале [а, b]. Нелинейные уравнения с одним неизвестным подразделяются на алгебраические и трансцендентные. Уравнение (4) называется алгебраическим, если функция является алгебраической функцией. Путем алгебраических преобразований из всякого алгебраического уравнения можно получить уравнение в канонической форме:

где а₀, а₁, ..., а_n — коэффициенты уравнения, а х — неизвестное.

Показатель n называют степенью алгебраического уравнения. Всякое алгебраическое уравнение имеет, по крайней мере, один корень вещественный или комплексный.

Если функция F(x) не является алгебраической, то уравнение (4) называется трансцендентным. Примерами трансцендентных уравнений являются:

В некоторых случаях решение трансцендентных уравнений можно свести к решению алгебраических уравнений.

Поскольку подавляющее большинство нелинейных уравнений с одной переменной не решается путем аналитических преобразований (точными методами), на практике их решают только численными методами. Решить такое уравнение — это значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти значения корней с заданной точностью. Задача численного нахождения действительных и комплексных корней уравнения (4) обычно состоит из двух этапов: отделение корней, т. е. нахождение достаточно малых окрестностей рассматриваемой области, в которых содержится одно значение корня, и уточнение корней, т. е. вычисление корней с заданной степенью точности в некоторой окрестности. Для отделения корней могут быть использованы как графические методы решения уравнений, так и специальные алгоритмы.

Наиболее распространенными на практике численными методами решения уравнений (4) являются: метод половинного деления, метод хорд, метод касательных (Ньютона), комбинированный метод, метод нахождения всех действительных корней Рыбакова, метод простой итерации. Применение того или иного численного метода зависит от числа корней, задания исходного приближения и поведения функции F(x).