Начала математической статистики

Математическая статистика – наука, изучающая массовые явления для выявления закономерностей и получения некоторых обобщенных показателей, кратко характеризующих полученные данные. Основой математической статистики является теория вероятностей.

Под статистическими данными понимается любая числовая информация, характеризующая некоторую совокупность объектов, обладающих теми или иными общими признаками. Статистические данные могут быть представлены в различных формах. Набор данных может содержать одно или несколько значений для каждого из отдельных объектов. Эти объекты называют элементарными единицами. Для каждого объекта регистрируют один и тот же признак или одни и те же признаки. Например, регистрируется возраст, рост и масса школьников; год издания, количество страниц для книг и т. д.

Все множество исследуемых объектов называется генеральной совокупностью (ГС). Общее свойство объектов генеральной совокупности называется признаком генеральной совокупности. Значения признака, который регистрируется для каждого из объектов, называют вариантами.

Выборка (В), или выборочная совокупность – подмножество генеральной совокупности, где каждый ее элемент выбирается случайным образом.

Объем совокупности (генеральной или выборочной) – количество элементов в ней; обозначения: N – объем генеральной совокупности, n – объем выборки. Из определений ГС и В следует, что N > n (как правило, N > 1000, 10 ≤ n ≤ 100).

По аналогии со случайными величинами эмпирические варианты могут быть дискретными и непрерывными. Примерами дискретной варианты является число детей в семье; число клиентов, обратившихся в фирму за определенный промежуток времени, и т. д.; непрерывной – результат измерения роста человека (например, от 160 до 180); урожайность культуры, выращенной в хозяйстве, и т. п.

Пусть x₁, x₂, …, x_n – совокупность случайных значений случайной величины Х, т. е. выборка, тогда данную совокупность х_i называют эмпирическим рядом.

Эмпирический ряд x₁, x₂, …, x_n, представленный в порядке возрастания с перечислением повторяющихся значений (упорядоченная выборка), называется ранжированным вариационным рядом: y₁, y₂, …, y_n (где y₁ ≤ y₂ ≤ … ≤ y_n).

Эмпирический ряд x₁, x₂, …, x_n, представленный в порядке возрастания без повторяющихся значений (ранжированный ряд без повторов), называется дискретным вариационным рядом: α₁, α₂, …, α_m (где α₁ < α₂ <…< α_m). Каждое значение α₁, α₂, …, α_m называется вариантой выборки.

Если в вариационном ряде значения признака заданы в виде интервалов, то такой ряд называют интервальным (например, таблица 7.1).

Значения эмпирического ряда x₁, x₂, …, x_n располагаются в пределах отрезка [x_min; x_max], где x_min – минимальное значение из эмпирического ряда, x_max – максимальное значение из эмпирического ряда.

Табличное представление первичной обработки статистических данных

Результаты измерения, как правило, фиксируют сначала в произвольном или в алфавитном порядке (например, при проверке скорости чтения учащихся вызывают в том порядке, в каком они записаны в классном журнале), или в том порядке, в каком поступают результаты измерения (например, результаты проверки тестирования поступают в том порядке, в каком лежат бланки ответов). В такой форме полученные данные неудобны для анализа и выявления закономерностей.

Первичная обработка статистических данных состоит в упорядочении данных (по возрастанию или убыванию), подсчете некоторых показателей, характеризующих эти значения, в группировании данных.

Проиллюстрируем все сказанное на конкретном примере.

Пример 2. В таблице 7.1 представлены данные о скорости чтения учащихся 2-го класса, т. е. количество слов, которые ученик прочитывает за минуту.

Таблица 7.1

№ ученика1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Скорость чтения	53	49	90	85	53	72	85	45	64	70	58	53	81
№ ученика	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
Скорость чтения	34	40	53	72	45	72	64	72	64	51	45	40

1 –номер ученика используется вместо его фамилии

Первый шаг обработки этих данных – составить ранжированный вариационный ряд. Для рассматриваемого примера в таблице 7.2 представлены те же 25 данных, но упорядоченные по убыванию от 90 до 34.

Эта таблица позволяет установить ранг ученика, т. е. место, которое он занимает среди проверявшихся учеников, по скорости чтения. Чем меньше ранг, тем больше скорость чтения ученика. Ученик с рангом 1 имеет наибольшую скорость чтения. Поскольку имеются ученики с одинаковой скоростью чтения, то их ранги целесообразно считать одинаковыми, а именно – равными средним арифметическим соответствующих значений.

Например, ученики со скоростью чтения 85 слов/мин занимают 2-е и 3-е места, ранг каждого из них равен . Ученики со скоростью чтения 53 слова/мин занимают 14-е, 15-е, 16-е и 17-е, поэтому ранг каждого из них равен .

Таблица 7.2

№ ученика1	3	4	7	13	6	17	19	21	10	9	20	22	11
Скорость чтения	90	85	85	81	72	72	72	72	70	64	64	64	58
Ранг ученика	1	2,5	2,5	4	6,5	6,5	6,5	6,5	9	11	11	11	13
№ ученика	1	5	12	16	23	2	8	18	24	15	25	14
Скорость чтения	53	53	53	53	51	49	45	45	45	40	40	34
Ранг ученика	15,5	15,5	15,5	15,5	18	19	21	21	21	23,5	23,5	25

Почему ранг учащихся со скоростью чтения 64 слова/мин равен 11?

В случае если некоторые значения встречаются неоднократно, составляют дискретный вариационный ряд. Число случаев, в которых встречается значение х_і, называют частотой значения х_і и обозначают р_і^. Составляют таблицу абсолютных частот:

а i	а1	а2	а3	…	аm
рі	р1	р2	р3	…	рm

Упорядочение данных и подсчет их частот можно выполнять с помощью редактора электронных таблиц Microsoft Excel. Для этого используются команды или и статистическая функция (ЧАСТОТА).

Сумму р₁ + р₂ + ... + р_т называют объемом совокупности данных и обозначают п; число различных значений, которые принимает исследуемая величина – т.

В рассматриваемом примере т = 13, п = 25.

Частота значения величины является ее определенной характеристикой, но недостаточной: в ней не учтен объем совокупности данных. Поэтому рассматривают такой показатель, как относительная частота значения.

Относительной частотой¹ р_і^* значения х_і называют отношение частоты р_і этого значения к объему п совокупности данных:

. (7.5)

В таблице относительных частот сопоставляются событие а_i с его относительной частотой:

аi	а1	а2	а3	…	аm
рі*	р1*	р2*	р3*	…	рm*

Для рассматриваемого примера абсолютные и относительные частоты скоростей чтения приведены в таблице 7.3.

Таблица 7.3

хі	90	85	81	72	70	64	58	53	51	49	45	40	34
рі	1	2	1	4	1	3	1	4	1	1	3	2	1
рі*	0,04	0,08	0,04	0,16	0,04	0,12	0,04	0,16	0,04	0,04	0,12	0,08	0,04

Относительная частота значения является краткой и содержательной характеристикой рассматриваемой информации. Например, если считать, что для ученика 2-го класса нормой скорости чтения является 60 слов/мин, то относительная частота значений, не меньших нормы (т. е. от 90 до 64), в рассматриваемом случае равна , то есть меньше половины второклассников достигли нормы.