§6. Центральное растяжение-сжатие. Закон Гука.

Центральным растяжением-сжатием называют такой вид деформации бруса, при котором в его поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор, отличный от нуля, - нормальная (продольная) сила N, приложенная к центру тяжести поперечного сечения бруса.

Если N действует от сечения, то она вызывает растяжение и считается положительной.

Если N действует к сечению, то вызывает укорочение бруса (сжатие) и считается отрицательной

Брусья, в основном работающие на растяжение-сжатие называются стержнями.

ε = l/l - продольная деформация

ε = ε_x = a/a = ε_y = b/b – поперечная деформация.

Опытным путём доказано, что при центральном растяжении-сжатии отношение поперечной деформации к продольной – величина постоянная для данного материала, и её абсолютное значение называется коэффициентом Пуассона.

Коэффициент Пуассона – справочная величина. 0  0,5

_пробки = 0

_стали = 0,29 – 0,33

_чугуна = 0,23 – 0,27

_меди = 0,31 – 0,33

_{каучука} = 0,47

Для большинства материалов, с достаточной точностью можно сказать, что:

в упругой области нагружения существует прямо пропорциональная зависимость между относительной линейной деформацией и нормальным напряжением, называющаяся законом Гука:

 = ε,

 - нормальное напряжение

 - модуль упругости первого рода (модуль Юнга), [Н/м²], [Па]

ε – относительная линейная деформация

 = tg

E*F – жёсткость при растяжении-сжатии.

- формула Гука

Определить удлинение стержня

 - ?

(l - ?)

0 z  l 0 z  l

N(z)=ql N(z)=ql-qz

N(0)=0 N(0)=ql

N(l)=ql N(l)=0

Если стержень состоит из n различных участков, то определяется:

Потенциальная энергия упругой деформации при растяжении-сжатии

 = ε – закон Гука

EF – жёсткость при растяжении-сжатии;

F – площадь;

E – модуль Юнга.

dU – потенциальная энергия упругой деформации

§7. Статически неопределимые системы

Статически неопределимыми называются системы, в которых внутренние силовые факторы не могут быть определены из основных уравнений равновесия (число неизвестных больше числа уравнений статики).

Степень статической неопределимости – разность между числом неизвестных (в опорах или заделках) и число уравнений равновесия.

Для раскрытия статической неопределимости составляют дополнительные уравнения перемещения (совместности деформации), их число равно степени статической неопределимости системы.

H_B=0, H_A=0;

M_A=0, M_B=0

R_A=2P/3, R_B=-P/3

1. Статическая сторона задачи:

Основное уравнение равновесия (уравнение статики)

Fi(z) = -R_A + P + R_B =0

2 неизвестных -1 уравнение равновесия = система 1 раз статически неопределима

2. Геометрическая сторона задачи:

Дополнительное уравнение равновесия (уравнение совместности деформации)

3. Физическая сторона задачи:

l₁ + l₂ =0

Температурные напряжения

R_T – температурные реакции, возникающие в заделках

 - температурный коэффициент линейного расширения материала, [1/⁰C]

При нагревании температурные реакции отрицательные, при охлаждении – положительные.

Монтажные (начальные) напряжения.

Напряжения, возникающие вследствие неточности изготовления отдельных элементов конструкции, называются монтажными напряжениями.

Стержень 2 короче проектной длины на величину .

В результате стяжки всех трёх стержней в точку О, стержни 1 и 3 укоротятся, а стержень 2 – растянется.

1. Основные уравнения равновесия:

3 неизвестных – 2 основных уравнения равновесия = 1 раз статически неопределимая система.

2. Дополнительное уравнение перемещения

Проверка:

Стержни, имеющие наклон к вертикали в точке крепления, деформируются меньше.