Интегрирование по частям

ТЕОРЕМА 2. Пусть функции и(х) и v(x) определены и диффе­ренцируемы на промежутке Х и функция и'(x)v(x) имеет пер­вообразную на этом промежутке. Тогда функция u(x)v'(x) также имеет первообразную на промежутке X, причем спра­ведлива формула

(2)

С учетом вида дифференциалов функций v'(x)dx = dv и u'(x)dx = du равенство (2) часто используют в форме

(3)

Равенство (2) (или (3)) называется формулой интегри­рования по частям.

Пример: dx.

Решение. Здесь берем и(х) = ln x, dv = dx, т.е. v = х. По формуле (2) получаем

В общем случае интегралы вида ln х dx, где п ≠ 1 — целое число, берутся только интегрированием по частям: и = ln x, xⁿdx = dv, т.е. v = хⁿ⁺¹ /(п + 1). Аналогичным образом берутся и интегралы вида arctg x dx.

Пример 9. dx.

Решение. В этом случае и = х, e^хdx = dv = d(e^x), тогда по формуле (2) имеем

Интегралы вида dx, где п > 0 — целое число и k ≠ 0 — любое число, берутся n-кратным интегрированием по частям до исчезновения степени х в подынтегральной функции; при этом каждый раз под знак d вносится е^kx, т.е. e^kxdx = dv = d(е^kx).

Ррешение. Интегралы вида cos kx dx и sin kx dx, где k — любое число и п > 0 — целое число, вычисляются так же, как и интеграл общего вида, приведенный в примере 1. Под знак d каждый раз вносится тригонометрическая функ­ция, и процедура интегрирования по частям повторяется n раз:

cos kx dx = dv = d (sin kx), затем sin kx dx = - d(cos kx) и т.д.

В данном случае мы имеем

Понятие рациональной функции от двух перемен­ных

Это функция, полученная из переменных и и v путем про­ведения над ними арифметических операций. Например, функ­ция

является рациональной от переменных u и v. В свою очередь переменные и и v также могут являться функциями. Например,

Рациональная функция от sin х и cos х

Рассмотрим интеграл вида

(4)

где R — рациональная функция. Этот интеграл рационализи­руется универсальной подстановкой

Действительно,

(5)

Подстановка формул (5) в интеграл (4) дает

где R₁(t) — другая рациональная функция аргумента t. Рас­смотрим примеры вычисления интегралов, содержащих рацио­нальные функции от sin x и cos x.

Пример:

Решение. Подставляя сюда формулы (5), после очевид­ных упрощений получаем

Рациональная функция от еx

Интеграл вида

рационализируется подстановкой

(6)

Пример: Найти интеграл . Применяя подстановку (6), получим

Определенный интеграл Условия существования определенного интеграла Определение определенного интеграла

Пусть функция f(x) задана на отрезке [а, b]. Разобьем от­резок [а, b] на п произвольных частей точками:

Выберем в каждом из частичных отрезков [x_i, x_i+1] произволь­ную точку ξ_i:

Теперь образуем сумму произведений:

(1)

которую будем называть интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [а, b]. Геометрический смысл величины σ (рис.10): − сумма площадей прямоугольников с основаниями Δx_i и высотами f(ξ_i) (i = 1, 2, ..., п).

Рис.10

Обозначим через λ длину макcимального частичного отрезка данного разбиения:

Определение. Конечный предел I интегральной суммы σ при λ → 0, если он существует, называется определенным интег­ралом от функции f(x) по отрезку [а, b]:

(2)

Определенный интеграл обозначается символом

Если определенный интеграл (2) существует, то функ­ция f(x) называется интегрируемой на отрезке [а, b], числа а и b — соответственно нижним и верхним пределами интегри­рования, f(x) — подынтегральной функцией, х — переменной интегрирования.

Величина определенного интеграла, согласно данному вы­ше определению, однозначно определяется видом функции f(x) и числами а и b. Определенный интеграл не зависит от обозна­чения переменной интегрирования, т.е.