
- •Дифференцирование сложной функции
- •Понятие производной n-го порядка
- •Применение производных в исследовании функций Раскрытие неопределенностей Правило Лопиталя
- •Неопределенности вида
- •Другие виды неопределенностей
- •Разложение функций по формуле Маклорена
- •Исследование функций и построение графиков Признак монотонности функции
- •Точки локального экстремума
- •Выпуклость и точки перегиба графика функции
- •Асимптоты графика функции
- •Контрольная работа
- •Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Понятие первообразной функции
- •Неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования Непосредственное интегрирование
- •Метод подстановки или метод замены переменной
- •Интегрирование по частям
- •Понятие рациональной функции от двух переменных
- •Рациональная функция от sin х и cos х
- •Рациональная функция от еx
- •Определенный интеграл Условия существования определенного интеграла Определение определенного интеграла
- •Классы интегрируемых функций
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Контрольная работа
Выпуклость и точки перегиба графика функции
Определение. График функции y = f(x) имеет на интервале (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (а, b) (рис.5).
Рис.5
ТЕОРЕМА. Если функция у = f(х) имеет на интервале (а, b) вторую производную и f"(x) ≥ 0 (f"(x) ≤ 0) на (а, b), то график функции имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).
Определение. Точка М(x0, f(x0)) называется точкой перегиба графика функции у = f(x), если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки x0, в пределах которой график функции f(x) имеет разные направления выпуклости.
В точке перегиба касательная пересекает график функции, поскольку он переходит с одной стороны касательной на другую, т.е. "перегибается" через нее (рис.6).
ТЕОРЕМА 1(необходимое условие существования точки перегиба). Пусть график функции у = f(x) имеет перегиб в точке M(x0, f(x0)) и функция f(x) имеет в точке x0 непрерывную вторую производную. Тогда
(8)
Условие f"(x0) = 0 не всегда означает наличие точки перегиба на графике функции у = f(x). Например, график функции у = x2n (п > 1) не имеет перегиба в точке (0, 0), хотя при х = 0 вторая производная равна нулю. Потому равенство (8) является только необходимым условием перегиба. Точки графика, для которых условие (8) выполнено, называют критическими.
Рис.6
ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие существования точки перегиба). Пусть в некоторой окрестности точки x0 вторая производная функции у = f(x) имеет разные знаки слева и справа от x0. Тогда график у = f(x) имеет перегиб в точке М(x0, f(x0)).
Рис.7
Пример: f(x) = ехр (-x2).
Решение.
Последовательно находим f'(x)=
-2x
exp(—x2),
f"(x)
= 2 exp
(-x2)(2x2
— 1). Приравнивая
вторую производную к нулю, получаем
критические точки х
= ±1/
.
Ввиду зависимости функции от х2
достаточно исследовать точку x
= l/
.
Нетрудно видеть, что при переходе через
эту точку слева направо f"(x)
меняет знак с минуса на плюс. Следовательно,
на левой ветви функции точка M1(-1
/
,
e-1/2)
является точкой перегиба графика
функции со сменой выпуклости вниз слева
на выпуклость вверх справа (рис.8). На
правой ветви в точке перегиба М2(1/
,
е-1/2)
графика функции имеет место смена
выпуклости вверх слева на выпуклость
вниз справа.
Рис.8
Асимптоты графика функции
Определение.
Прямая х = а
называется вертикальной
асимптотой
графика функции у
= f(x),
если хотя бы одно из предельных значений
f(x)
или
f(x)
равно +
или -
.
Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам разрыва второго рода. Например, график функции у = е1/x имеет вертикальную асимптоту х = 0, так как f(x) при х 0+.
Определение. Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции у = f(x) при х ± , если f(x) можно представить в виде
(9)
где α(х) 0 при х ± .
(10)
Из равенства (9):
(11)
Пример:
f(x)
=
.
Решение. Найдем вертикальную асимптоту. Точка x = -1 является точкой разрыва 2-го рода, причем
Затем находим наклонные асимптоты:
Таким образом, получаем уравнение наклонной асимптоты
Схема исследования графика функции
1. Найти область определения функции.
2. Определить возможный тип симметрии функции: четность или нечетность функции. Функция f(x) называется четной, если выполнено условие симметрии ее графика относительно оси Оу:
(12)
Функция f(x) называется нечетной, если выполнено условие симметрии ее графика относительно начала координат O (0, 0):
(13)
При наличии симметрии достаточно построить график функции на правой координатной полуплоскости и затем отобразить его на левую половину: зеркально относительно оси Оу в случае (12) (рис. 9,а) или с центральной симметрией в случае (13) (рис.9,б).
Рис.9
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат Ох и Оу, т.е. решить соответственно уравнения у = f(0) и f(x) = 0.
4. Найти асимптоты.
5. Найти точки возможного экстремума.
6. Найти критические точки.
7. Исследовать знаки первой и второй производных, определить участки монотонности функции, направление выпуклости графика, точки экстремума и перегиба.
8. Определить максимум и минимум функции на области ее определения. Если областью определения функции является отрезок [а, b], необходимо вычислить значения функции в его концах и сопоставить их с локальными экстремумами.
9. Построить график функции с учетом проведенного исследования.
Пример: Исследовать и построить график функции
(14)
Решение. Действуем по приведенной выше схеме.
1.
Область определения функции: х
≠ 0 или х
(-
,
0)
(0,
).
2. Функция (14) является нечетной, так как f(-x) = - f(x).
3. Уравнение f(x) = 0 дает корни х = ±1 (точки пересечения с осью Ох). Пересечения с осью Оу нет в силу п.1.
4. Имеется вертикальная асимптота — ось Оу, так как предел f(x) при х 0 бесконечен: f(x) + при х 0-, f(x) - при х 0+.
Определяем наклонную асимптоту:
Итак, уравнение наклонной асимптоты: у = х.
5.
f'(x)
=
,
т.е. производная нигде не равна нулю и
точек возможного экстремума нет. В
области определения везде f'(x)
положительна.
6. f"(x) = —2/х3 — критических точек нет.
7. Функция (14) монотонно возрастает на всей области своего определения, так как ее производная всюду положительна. В левой координатной полуплоскости выпуклость графика функции направлена вниз (f"(x) > 0), в правой полуплоскости выпуклость направлена вверх (f"(x) < 0).
8. Наибольшего и наименьшего значений функции не существует, поскольку область ее значений неограничена.
9. График функции (14) приведен на рис.10.
Рис.10