Разложение функций по формуле Маклорена

Функцию f(x), имеющую (n + 1) производных в точке х = 0, можно представить по формуле Маклорена вместе с остаточным членом:

(6)

Пример: f(x) = е^x.

Решение. Поскольку (e^x)⁽ⁿ⁾ = e^х, f⁽ⁿ⁾(0) = е⁰ = 1 для любого п, формула Маклорена (6) имеет вид

(7)

Формула (7) используется для вычисления числа е с лю­бой необходимой точностью. Отсюда при х = 1 получаем при­ближенное значение числа е ≈ 2,7182818 ....

Формула (6) представляет собой асимптотичес­кую формулу (или оценку) для функции e^х при x 0. Аналогичные раз­ложения можно получить с использованием формулы (6) и для других функций. Асимптотические формулы эффективно применяются при вычислении пределов функций.

Исследование функций и построение графиков Признак монотонности функции

ТЕОРЕМА. Если функция f (x) дифференцируема и f'(x) ≥ 0 (f'(x) ≤ 0) на интервале (а, b), то она не убывает (не возрас­тает) на этом интервале.

При f'(x) > 0 (f'(x) < 0) имеем признак строгой моно­тонности, т.е. функция возрастает (убывает).

Если углы наклона касатель­ных (рис.1)на каком-то интервале являются острыми, то функция на этом интервале возрастает: tg φ > 0; при тупом угле наклона касательной функция убывает и tg φ < 0.

Рис.1

Точки локального экстремума

Определение. Точка x₀ называется точкой локального мак­симума (минимума) функции f(x), если для любого х ≠ x₀ в не­которой окрестности точки x₀ выполнено неравенство f(x₀) > f(х) (f(x₀) < f(x)).

Локальный минимум и локальный максимум объединены общим названием локальный экстремум.

ТЕОРЕМА 1 (необходимое условие существования локаль­ного экстремума). Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀ и имеет в этой точке локальный экстремум, то f'(x₀) = 0.

Геометрический смысл теоремы указан на рис.2: если в точках локальных экстремумов существуют касательные, то они параллельны оси Ох.

Точки, в которых касательные параллельны оси Оx, а зна­чит, производная равна нулю, называют точками возможного экстремума, или стационарными точками. Если x₀ — точка возможного экстремума, т.е. f'(x₀) = 0, то она может и не быть точкой локального экстремума. Например, для функции f(x) = x³ (рис. 3) производная при х = 0 равна нулю, од­нако в этой точке нет локального экстремума. Таким образом, теорема 1 не является достаточным условием существования локального экстремума.

Рис.2

Рис.3

ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие существования локаль­ного экстремума). Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀. Если при переходе через точку x₀ слева направо производная f'(x) меняет знак с плю­са на минус (с минуса на плюс), то в точке x₀ функция f(x) имеет локальный максимум (минимум). Если же f'(x) не ме­няет знака в δ-окрестности точки x₀, то данная функция не имеет локального экстремума в точке x₀.

Пример: Найти точки локального экстремума и интервалы монотонности функции f(x) = х³ — 7,5x² + 18x.

Решение. Сначала находим производную f'(x) = 3x² — 15x + 18. Приравнивая ее к нулю и решая уравнение х² — 5х + 6 = 0, находим две точки возможного экстремума: x₁ = 2 и x₂ = 3. Нетрудно видеть, что f'(x) при переходе через точку x₁ =2 меняет знак с "+" на "-", т.е. в этой точке имеет место локальный максимум; аналогично устанавливается, что в точке x₂ = 3 функция f'(х) имеет локальный минимум.

Найдем теперь интервалы монотонности данной функции (рис.4). Поскольку f'(x) > 0 при х (- ,2), то в силу теоремы о признаке монотонности функция монотонно возрастает на этом интер­вале; (2, 3) является интервалом монотонного убывания f(x) (f'(x) < 0), а на интервале (3, + ) функция монотонно воз­растает (f'(x) > 0).

Рис.4