§ 3. Признаки существования локальных экстремумов и точек перегиба. Графическая иллюстрация.

Определение 1. Дифференцируемой точкой функции назовем такую точку на графике функции, в которой существует конечная производная функции ( существует касательная, не направленная вертикально).

Определение 2. Недифференцируемой точкой функции назовем такую точку на графике функции, в которой или не существует производная функции (не существует

касательная, касательная справа и касательная слева не совпадают), или производная обращается в бесконечность (касательная вертикальная).

В соответствии с введенными определениями можно ввести понятие локального дифференцируемого и недифференцирруемого экстремумов, графическое изображение которых дано на Рис. 1

y Рис. 1

E R

C

A

D F х

B G

Точки на графике A, B – точки дифференцируемого экстремума (максимума и минимума, соответственно). Точки С, D, E, F, G, R – точки недифференцируемого экстремума ( C, E, R – точки максимума; D, F, G – точки минимума).

Проиллюстрируем с помощью графического дифференцирования справедливость необходимого и достаточных признаков существования локального экстремума функции.

y y

x x

Дифференцируемые экстремумы Недифференцируемые экстремумы

y' y'

(+) (+) + +

0 ( +) 0 x (+) + + x x

(-) (-) (-) (-) (-) ( -) (-) -

y'' y''

(+) x (+) + + (+) x

(-) (-) (-) (-)

Рис. 2 Рис. 3

Из Рис. 2, можно увидеть, что в точке локального дифференцируемого экстремума производная равна нулю. Причем в точке минимума первая производная меняет знак с минуса на плюс, а в точке максимума с плюса на минус. Вторая производная в точке минимума положительна, а в точке максимума отрицательна.

Из Рис. 3, видно, что для недифференцируемых экстремумов первая производная меняет знак также, как и в случае дифференцируемого экстремума, т. е. для минимума меняет знак с минуса на плюс, а для максимума с плюса на минус, однако, конечно, в самой точке экстремума производной не существует.

Заметим, также, что из рисунков следует: если график функции имеет выпуклость вниз, то соответствующая вторая производная положительна, и наоборот, если график имеет выпуклость вверх, то вторая производная отрицательна.

Для читателя оставляем возможность с помощью графического дифференцирования самостоятельно изучить поведение второй производной в дифференцируемой и недифференцируемой точках перегиба.