§ 2. Графическое дифференцирование

Рассмотрим более сложный пример графика функции, когда на отдельных участках функция совпадает с квадратным трехчленом. Эти участки будем условно обозначать ~ . График производной на таких участках, очевидно, представляет собой прямую линию: .

Пр.1 y

Рис. 4

~

~

A B C D E F G

х

y'

1

х

-1

Опишем поведение производной на всех участках графика функции исходя из поведения тангенса угла , затем указанное поведение производной изобразим на графике:

AB: Производная отрицательна, постоянная, меньше единицы.

BC:  Производная в верхней точке параболы обращается в ноль, в точке В производная положительная, примерно равна 2. Ввиду того, что графиком производной должна быть прямая, проводим через указанные две точки отрезок прямой.

CD:  Производная отрицательна, не меняется, значение производной по модулю меньше единицы.

DE:  Производная в точке D равна нулю, затем возрастает и достигает в точке Е некоторого положительного значения большего единицы. С учетом, что участок соответствует квадратичной параболе, имеем в качестве графика производной отрезок прямой.

EF: Производная в точке Е равна нулю, затем уменьшается и достигает в точке F значения, примерно равного -2.

FG:  Производная положительна, не меняется, больше единицы.

П р. 2 Теперь рассмотрим случай, когда отдельные участки графика функции являются произвольными кривыми, не являющимися квадратичными параболами.

y Рис. 5

        ~

A B C D E F G Q R x

~

y'

x

Для построения графика производной Пр. 2 сначала опишем поведение

тангенса угла наклона касательной, мысленно представляя единичный круг и ось тангенсов на нем:

A:  На производная стремится к нулю. Таким образом начиная с нуля на производная уменьшается и, приближаясь к точке перегиба A, cтремится к . Точка А является недифференцируемой точкой перегиба, отделяющей выпуклую и вогнутую части кривой. В самой же точке А.производная не существует (стремится к - ).

AB: Справа в точке А производная по-прежнему равна - и, при движении к точке В стремится к нулю.

BC: Справа в точке В производная стремится к (вертикальная асимптота ). При движении к точке С производная уменьшается до нуля..

CD:  Производная отрицательная постоянная, равна примерно –1.

DE:  Из нуля в точке D производная увеличивается и принимает достаточно большое значение в точке Е.

EF: Справа в точке Е производная равна + , затем уменьшается и, оставаясь отрицательной, принимает малые отрицательные значения в точке F.

FG:  Производная отрицательна, возрастает до нуля. С учетом параболичности участка, график производной – прямая линия.

GQ: Производная положительна, не меняется, принимает значение, меньшее1.

QR: Производная отрицательна. Принимает большое отрицательное значение в точка Q, затем увеличивается, стремится к нулю, но нуля в точке R не достигает .

Пр.3  Посвящен дифференцированию функции в окрестности точек перегиба, как дифференцируемых, так и недифференцируемых (определения дифференцируемых и недифференцируемых точек см. в § 3)

Дифференцируемыми точками перегиба будем называть такие точки на графике, которые отделяют выпуклую часть кривой от вогнутой, причем в самой точке перегиба производная функции существует и не обращается в бесконечность.

Недифференцируемыми точками перегиба будем называть такие точки на графике функции, которые отделяют выпуклую часть кривой от вогнутой, причем в самой точке перегиба производная или не существует, или обращается в бесконечность.

Пр. 4 y Рис.6

A B C D P Q R S T N M L E F G x

y'

x

Слева от оси ординат в точках графика при х = С и х = Q имеются дифференцируемые точки перегиба. Справа от оси в точках графика при х =T, N, M, F – недифференцируемые точки пергиба.

Опишем поведение производной функции в Пр. 4 на каждом участке:

AD: В точке А производная положительна, уменьшается до нуля при х=В, далее продолжает уменьшаться, становясь отрицательной, затем в точке перегиба при х = С начинает возрастать и достигает нуля в точке D.

PR: В точке Р производная положительна, затем уменьшается до нуля при х = Q, затем начинает увеличиваться и принимает наибольшее положительное значение в точке при х = R.

SN:   При х = S производная равна нулю, затем уменьшается, становясь отрицательной, и при х = Т обращается в . Справа от точки Т производная из увеличивается до нуля при х = N.

NL: При х = N производная обращается в затем уменьшается до нуля при x = M. Справа в точке х = М производная обращается в минус бесконечность,Затем увеличивается почти до нуля, оставаясь отрицательной в точке при х = L.

LF: При х = L производная отрицательна, возрастает до нуля при х = Е, затем продолжает возрастать до точки F.

FG: При х = F производная равна нулю, затем уменьшается.

В следующем примере разберем поведение графика производной, если функция имеет наклонные и горизонтальные асимптоты.

y y

П р. 5

A F

x x

B С D E

y'

y'

Рис. 7

x x

- С: На производная отрицательна и стремится к нулю. На участке AC производная, оставаясь отрицательной, продолжает уменьшаться до точки пергиба В, затем начинает возрастать и достигает нуля в точке С.

C :  Из нуля в точке С производная возрастает до точки перегиба D, затем уменьшается, оставаясь положительной стремиться на к положительному значению.

EF : На минус бесконечности производная стремится к постоянному отрицательному значению. Возрастая от этого значения, оставаясь отрицательной, производная в точке становится равной нулю, затем продолжает возрастать до точки перегиба F, затем, оставаясь положительной стремится на к постоянному положительному значению.