21

Графическое Качевский Д. Н.

 дифференцирование

Д. Н. КАЧЕВСКИЙ

ГРАФИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Учебное пособие по высшей математике

Чебоксары «ДНК» 2008

К 30

УДК 517

Качевский Дмитрий Николаевич

К 30 Графическое дифференцирование. Учебное пособие по высшей математике. – Чебоксары: ДНК, 2008, 21 с., ил.

Дается теоретическое обоснование метода графического дифференцирования – схематического построения графика производной по известному графику функции. .В методическое пособие включены также типовые задания по графическому дифференцированию. Пособие предназначено для студентов вузов всех форм обучения, для школьников с углубленным изучением математики, а также для специалистов широкого профиля, занимающихся анализом графических закономерностей, функций, не заданных аналитически.

© Чебоксары, «ДНК», 2008.

Графическое дифференцирование

§ 1. Геометрический смысл производной

Воспользуемся определением производной функции и ее связью с дифференциалом :

.

Изобразим на Рис. 1 рассматриваемые величины. Как видно из рисунка, производная функции в точке равна тангенсу угла между вектором касательной к графику функции в точке и направлением оси абсцисс:  .

y=f (x)

τ

f (x+∆ x ) d y = f ´(x) d x

Рис. 1

∆ f (x) = f (x+Δ x) –f (x)

φ

f (х)

x x+Δx x

∆ x = d x

Изобразим на Рис 2. тригонометрический круг единичного радиуса с осью тангенсов.

                              

  Для того, чтобы найти производную          tg φ Рис. 2

ф ункции в заданной точке графика,

необходимо построить в этой точке τ

к асательный вектор τ, затем по Рис. 2 y

о пределить

значение тангенса угла

м ежду вектором τ и

н аправлением оси -1 x

абсцисс. Значение

производной будет

равно найденному

з начению тангенса.   -1

Найдем значения производной для функции, изображенной на графике Рис. 3. Найденные значения производной будем откладывать на оси y' 

На участке AB производная y Рис. 3 F

о трицательная, равна –1,  A    E       

н е меняется.

Н а участке BC производная                                         G x

р авна нулю.

На участке CD производная    B C D

п ринимает опять значение –1.       На участке DE производная y'

п оложительная, меньше 1. 1

На участке FG производная

т акая же, как на участке AB. x

-1