Тогда величина ожидаемой нормы прибыли пцб

m_П^* = х₁т₁ + х₂m₂ + x₃т₃ = 46,237,

а минимальная величина риска среди всех ПЦБ, сформированных из ЦБ вида А₁, А₂ и А₃, составляет

! Замечание. Если ввести обозначение

; ;

эту систему уравнений (4.1) можно записать в матричном виде:

Ax = b

Тогда решение системы (4.1) осуществляется в соответствии с формулой:

x = A^-1b

1.2. Задача получения желаемой (фиксированной) прибыли

Сущность задачи состоит в выборе такой структуры ПЦБ, чтобы ожидаемая норма прибыли этого портфеля была не меньше зафиксированного уровня т_с (т_с = const) и его риск при этом был минимальной. Формально эту задачу запишем в виде таких соотношений:

;

m_П = M(R_П)  m_c

x₁ + … + x_n =1;

x_k  0, k=1, … , N.

Решение задачи получение прибыли отвечает точка «К» на рис. 3.

Для нахождения структуры ПЦБ, которое бы удовлетворяло условиям поставленной задачи, воспользуемся методом Лагранжа, который сводится к нахождению решения системы линейных алгебраических уравнений:

(4.2)

где λ₁, λ₂ — дополнительные переменные (неизвестные величины), появление которых вызваны использованием метода Лагранжа.

Пример 4.2. Из акций вида А₁, А₂ и А₃, описанных в условии примера 4.1(ожидаемые нормы прибыли этих акций составляют соответственно 60%, 50% и 40%; риски - 40%, 30%, и 25%; коэффициенты корреляции - ρ₁₂ = 0.2; ρ ₁₃ = - 0,3; ρ ₂₃ = - 0,5), сформировать ПЦБ, ожидаемая норма прибыли которого составляла бы m_c = 50% и при этом риск портфеля был бы минимальной. Вычислить величину его риска.

Решение. В соответствии с (4.2) получаем систему уравнений:

Решив эту систему уравнений, получаем, что x₁= 0,402; x₂= 0,196; x₃=0,402.

Ожидаемая норма прибыли сформированного ПЦБ

т_П = 0,402  60 + 0,196  50 + 0,402  40 = 50 = т_с,

а его риск

Как видим, что если бы ПЦБ был сформирован только из акций вида А₂, то его ожидаемая норма прибыли была бы равной т_c = 50%, но риск его в таком случае составлял бы _П = 30%, то есть был бы большей почти в два раза.

1.3. Задача обеспечения прироста капитала

Сущность ее состоит в выборе такой структуры ПЦБ, чтобы его риск не превышал заданного фиксированного уровня σ_c (σ_c = const) и при этом достигалась максимальная по величине ожидаемая норма прибыли.

Формальная постановка задачи такая:

;

V_П = D(R_П)  _c²

x₁ + x₂ + … + x_N =1;

x_k  0, k=1, … , N.

Решению задачи обеспечение прироста капитала отвечает точка «L» на рис 4.3.

Для нахождения структуры ПЦБ, которое удовлетворяет условиям поставленной задачи, снова воспользуемся методом Лагранжа, который сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений:

. (4.3)

Поделим правые и левые части первых (N + 1) уравнений на ₁ и, положив z₁ = - 1/₁, z₂ = ₂/₁, рассмотрим систему с N + 1 линейных уравнений с (N + 1) неизвестным:

(4.4)

Обозначив через А матрицу коэффициентов системы (4.4) и положив, что , находим решение системы (4.4) в таком виде:

(4.5)

Если теперь положить

то долю акции вида А_k в портфеле можно вычислить по формуле:

х_k = z₁ с_k + d_k, k = 1, ..., N. (4.6)

Значение величины z₁ находим как решение квадратного уравнения, которое получаем после подстановки величин х_k, заданных в соответствии с (4.6), в (N+2)-е (последнее) уравнение системы (4.3). При этом выбирается то решение квадратного уравнения (по z₁), которое обеспечивает большее значение ожидаемой нормы прибыли m_П портфеля ценных бумаг.

Пример 4.3. Из акций вида А₁, А₂ и А₃, описанных в условии примера 4.1 (ожидаемые нормы прибыли этих акций составляют соответственно 60%, 50% и 40%; риски - 40%, 30%, и 25%; коэффициенты корреляции - ρ₁₂ = 0.2; ρ ₁₃ = - 0,3; ρ ₂₃ = - 0,5), сформировать ПЦБ, риск которого составлял бы _c = 20% при максимально возможной ожидаемой норме прибыли портфеля.

Решение. В соответствии с (4.3) получаем систему нелинейных алгебраических уравнений:

(4.7)

Поделив правую и левую части первых четверых уравнений системы (4.7) на ₁ и положив z₁ = - 1/₁, z₂ = ₂/₁, приходим к системе четверых линейных уравнений: